Achar valores máximos e mínimos globais nos intervalos dados:
y=xx^2+1 [0,2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função $ y = \frac{x}{x^{2}+1} $ no intervalo de $ [0, 2] $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que nos ajudam a achar os pontos onde a função pode alcançar esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar os máximos e mínimos de uma função em um intervalo fechado, precisamos analisar os pontos críticos e os extremos do intervalo. Pontos críticos são onde a derivada da função é zero ou não existe.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da função $ y = \frac{x}{x^{2}+1} $. Para isso, usamos a regra do quociente:
y = xx^2+1

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo $ y’ = 0 $:
y' = 0
No intervalo $ [0, 2] $, o valor $ x = 1 $ está dentro, então esse é nosso ponto crítico.

Passo 5

Vamos avaliar a função $ y $ nos extremos do intervalo e no ponto crítico:
  • Em $ x = 0 $:
y
  • Em $ x = 1 $:
x = 0
  • Em $ x = 2 $:
y(0) = 00^2 + 1 = 0

Resposta

O valor máximo global é $ 0,5 $ em $ x = 1 $ e o valor mínimo global é $ 0 $ em $ x = 0 $.

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