Calcular aproximadamente, usando diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular aproximadamente
usando diferenciais. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a ideia de aproximação linear. Para isso, vamos precisar saber como encontrar a derivada de uma função e aplicar a fórmula da aproximação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que estamos lidando. Aqui, a função é $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $. Nosso objetivo é aproximar $ f(99) $.
Passo 3
Para usar diferenciais, vamos escolher um ponto próximo de 99 onde a função seja fácil de calcular. Um bom ponto é $ x_0 = 100 $, porque $ \sqrt{100} = 10 $, e assim $ f(100) = \frac{1}{10} = 0.1 $.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) $. A derivada de $ f(x) = x^{-1/2} $ é:
No ponto $ x_0 = 100 $:
Passo 5
Com a derivada encontrada, podemos usar a fórmula da aproximação linear (diferencial):
Substituindo os valores:
Resposta
Aproximadamente,
.