Calcular aproximadamente, usando diferencial:
1raiz99

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular aproximadamente 1raiz99 usando diferenciais. A matéria que vamos usar aqui é cálculo diferencial, especificamente a ideia de aproximação linear. Para isso, vamos precisar saber como encontrar a derivada de uma função e aplicar a fórmula da aproximação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que estamos lidando. Aqui, a função é $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $. Nosso objetivo é aproximar $ f(99) $.

Passo 3

Para usar diferenciais, vamos escolher um ponto próximo de 99 onde a função seja fácil de calcular. Um bom ponto é $ x_0 = 100 $, porque $ \sqrt{100} = 10 $, e assim $ f(100) = \frac{1}{10} = 0.1 $.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ f(x) $. A derivada de $ f(x) = x^{-1/2} $ é:
f(x)
No ponto $ x_0 = 100 $:
f(x) = x^-1/2

Passo 5

Com a derivada encontrada, podemos usar a fórmula da aproximação linear (diferencial):
f(x) approx f(x0) + f'(x0)(x - x0)
Substituindo os valores:
f(99) approx 0.1 + (-0.0005)(99 - 100)
f(99) approx 0.1 + (-0.0005)(-1)
f(99) approx 0.1 + 0.0005 = 0.1005

Resposta

Aproximadamente, 1raiz99 approx 0.1005.

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