Achar valores máximos e mínimos globais nos intervalos dados:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar os valores máximos e mínimos globais da função $ y = x e^{-x} $ no intervalo
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente de otimização de funções. Para resolver, vamos precisar analisar a função dentro do intervalo dado, encontrar seus pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, e também avaliar os extremos nos limites do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ y = x e^{-x} $. A derivada nos ajuda a identificar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. Usamos a regra do produto para derivar essa função:
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de $ x $ onde a derivada é zero ou não existe. Como $ e^{-x} $ nunca é zero, focamos em:
Então, $ x = 1 $ é um ponto crítico.
Passo 4
Em seguida, avaliamos a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo para encontrar os valores máximos e mínimos. Calculamos $ y $ para $ x = -1 $, $ x = 1 $ e $ x = 4 $:
Passo 5
Analisando os valores calculados:
- Em $ x = -1 $, $ y \approx -2,718 $
- Em $ x = 1 $, $ y \approx 0,368 $
- Em $ x = 4 $, $ y \approx 0,0732 $
O maior valor de $ y $ ocorre em $ x = 1 $ e o menor em $ x = -1 $.
Resposta
O valor máximo global da função $ y = x e^{-x} $ no intervalo
é aproximadamente $ 0,368 $ em $ x = 1 $ e o valor mínimo global é aproximadamente $ -2,718 $ em $ x = -1 $.