Calcule os seguintes limites:
lim x pi2^+ sen xraiz[3]cotg(x)

Passo 1

Resumo da questão: precisamos calcular o limite . O conteúdo envolve funções trigonométricas perto de um ponto onde a cotangente muda de sinal, então vamos usar uma mudança de variável e aproximações de pequena variável.

Passo 2

Para estudar o comportamento quando x se aproxima de pi2 pela direita, fazemos a troca x = pi2 + h com h to 0^+. Assim podemos reescrever as funções trigonométricas em termos de h.

Passo 3

Calculamos as expressões em h:
sin x = sinl(tfracpi2+hr) = cos h e
.

Passo 4

Para h pequeno, usamos as expansões de primeira ordem:
cos h approx 1 e tan h approx h. Logo,

Passo 5

Como hto0^+, o termo h^-1/3 tende a +\infty; com o sinal negativo, o limite é
-infty.

Resposta

-\infty

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