Achar os vetores unitários da tangente, da normal e da binormal em um ponto arbitrário da curva
x=cos ^3 t, y=sen^3 t, z=cos 2 t

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar os vetores unitários da tangente, da normal e da binormal em um ponto qualquer de uma curva no espaço. A curva é definida pelas equações paramétricas:
x = cos^3 t, y = sin^3 t, z = cos 2t
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos como derivadas vetoriais, normalização de vetores e o produto vetorial. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da curva, que é dado por:
r(t) = lang<= cos^3 t, sin^3 t, cos 2t rang<=

Passo 3

Em seguida, para encontrar o vetor tangente T(t), precisamos derivar r(t) em relação a t para obter o vetor velocidade r'(t):
r'(t) = lang<= ddt(cos^3 t), ddt(sin^3 t), ddt(cos 2t) rang<=
Calculando as derivadas:
  • Para x = cos^3 t:
    ddt(cos^3 t) = 3cos^2 t (-sin t) = -3cos^2 t sin t
  • Para y = sin^3 t:
    ddt(sin^3 t) = 3sin^2 t cos t
  • Para z = cos 2t:
    ddt(cos 2t) = -2sin 2t
Portanto:
r'(t) = lang<= -3cos^2 t sin t, 3sin^2 t cos t, -2sin 2t rang<=

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a magnitude do vetor velocidade |r'(t)| para normalizar o vetor tangente:
|r'(t)| = raiz(-3cos^2 t sin t)^2 + (3sin^2 t cos t)^2 + (-2sin 2t)^2
Calculando cada termo:
  • (-3cos^2 t sin t)^2 = 9cos^4 t sin^2 t
  • (3sin^2 t cos t)^2 = 9sin^4 t cos^2 t
  • (-2sin 2t)^2 = 4sin^2 2t = 16sin^2 t cos^2 t (usando sin 2t = 2sin t cos t)
Somando tudo:
|r'(t)| = raiz9cos^4 t sin^2 t + 9sin^4 t cos^2 t + 16sin^2 t cos^2 t
Factorizando sin^2 t cos^2 t:
|r'(t)| = raizsin^2 t cos^2 t (9cos^2 t + 9sin^2 t + 16) = raizsin^2 t cos^2 t (9(cos^2 t + sin^2 t) + 16) = raizsin^2 t cos^2 t (9(1) + 16) = raizsin^2 t cos^2 t cdot 25 = 5sin t cos t

Passo 5

Com a magnitude, podemos encontrar o vetor tangente unitário T(t):
T(t) = r'(t)|r'(t)| = lang<= -3cos^2 t sin t, 3sin^2 t cos t, -2sin 2t rang<=5sin t cos t = lang<= -3cos t5, 3sin t5, -2 cdot 2sin t cos t5sin t cos t rang<= = lang<= -3cos t5, 3sin t5, -45 rang<=

Passo 6

Para encontrar o vetor normal N(t), precisamos derivar T(t) em relação a t e depois normalizar:
T'(t) = lang<= 3sin t5, 3cos t5, 0 rang<=
Calculando a magnitude de T'(t):
|T'(t)| = raiz(3sin t5)^2 + (3cos t5)^2 + 0^2 = raiz9sin^2 t25 + 9cos^2 t25 = raiz9(sin^2 t + cos^2 t)25 = raiz925 = 35
Então, o vetor normal unitário é:
N(t) = T'(t)|T'(t)| = lang<= 3sin t5, 3cos t5, 0 rang<=35 = lang<= sin t, cos t, 0 rang<=

Passo 7

Finalmente, para encontrar o vetor binormal B(t), usamos o produto vetorial entre T(t) e N(t):
B(t) = T(t) times N(t)
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
B(t) = i & j & k -3cos t5 & 3sin t5 & -45 sin t & cos t & 0 = i(3sin t cdot 0 - -45 cos t1) - j(-3cos t cdot 0 - -45 sin t1) + k(-3cos t cdot cos t - 3sin t cdot sin t1)

Resposta

Os vetores unitários na curva são:
T(t) = lang<= -3cos t5, 3sin t5, -45 rang<=
N(t) = lang<= sin t, cos t, 0 rang<=
B(t) = lang<= 4cos t5, 4sin t5, -35 rang<=

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