Achar os vetores unitários da tangente, da normal e da binormal em um ponto arbitrário da curva
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar os vetores unitários da tangente, da normal e da binormal em um ponto qualquer de uma curva no espaço. A curva é definida pelas equações paramétricas:
Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos como derivadas vetoriais, normalização de vetores e o produto vetorial. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição da curva, que é dado por:
Passo 3
Em seguida, para encontrar o vetor tangente
, precisamos derivar
em relação a
para obter o vetor velocidade
:
Calculando as derivadas:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a magnitude do vetor velocidade
para normalizar o vetor tangente:
Calculando cada termo:
-
-
-
(usando )
Somando tudo:
Factorizando
:
Passo 5
Com a magnitude, podemos encontrar o vetor tangente unitário
:
Passo 6
Para encontrar o vetor normal
, precisamos derivar
em relação a
e depois normalizar:
Calculando a magnitude de
:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 7
Finalmente, para encontrar o vetor binormal
, usamos o produto vetorial entre
e
:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Resposta
Os vetores unitários na curva são: