Achar uma função f(t) de modo que a curva
r=a cos t i+a sen t j+f(t) k
seja plana.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o problema pede para encontrar uma função r = a cos t , i + a sin t , j + f(t) , k que faça com que a curva definida por
seja plana. Isso está relacionado com o estudo de curvas no espaço e condições de planaridade. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma curva ser plana e como isso se relaciona com a função .

Passo 2

Primeiro, uma curva é considerada plana se todos os seus pontos estiverem contidos em um único plano. No espaço tridimensional, isso significa que existe uma equação geral de plano que satisfaz todos os pontos da curva.

Passo 3

Vamos analisar a curva dada:
r = a cos t , i + a sin t , j + f(t) , k
As componentes e representam um círculo no plano . Para que a curva seja plana, a componente deve estar relacionada de forma que todos os pontos pertençam a um mesmo plano.

Passo 4

Vamos assumir que o plano tem a forma geral:
Ax + By + Cz + D = 0
Como A(a cos t) + B(a sin t) + C f(t) + D = 0 e aA cos t + aB sin t + C f(t) + D = 0 , podemos substituir na equação do plano:
Simplificando:

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo aA = 0 aB = 0 C f(t) + D = 0 , os coeficientes de e devem ser zero (pois são funções lineares independentes), e o termo constante também deve ser zero. Assim, temos:

Passo 6

Se C f(t) + D = 0 implies f(t) = -DC , então e . A equação do plano então fica:
Isso significa que deve ser uma constante para que a curva seja planar.

Resposta

A função deve ser constante. Ou seja, .

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