Mostre que os planos normais da curva
r=a sen^2 t i+a sen t cos t j+a cos t k
passam todos pela origem de coordenadas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por:
O problema nos solicita para mostrar que os planos normais dessa curva passam todas pela origem das coordenadas.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com o estudo de curvas no espaço tridimensional, mais especificamente com os planos normais a uma curva.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é um plano normal a uma curva.
  • Calcular o vetor tangente à curva.
  • Determinar a equação do plano normal.
  • Verificar se a origem satisfaz essa equação.

Passo 2

Vamos começar definindo o vetor tangente à curva. O vetor tangente é dado pela derivada da posição em relação ao parâmetro T(t) = dr(t)dt . Ou seja:
Vamos calcular essa derivada componente a componente.

Passo 3

Calculando a derivada:
  • A derivada de em relação a T(t) = 2a , sen t cos t , i + a (cos^2 t - sen^2 t) , j - a sen t , k é .
  • A derivada de é usando a regra do produto.
  • A derivada de é .
Portanto:

Passo 4

Agora, sabemos que o plano normal à curva em um ponto é aquele que é perpendicular ao vetor tangente nesse ponto. A equação de um plano perpendicular a um vetor nx (x - x0) + ny (y - y0) + nz (z - z0) = 0 e que passa por um ponto 2a , sen t cos t (x - a , sen^2 t) + a (cos^2 t - sen^2 t)(y - a , sen t cos t) - a sen t (z - a cos t) = 0 é:
No nosso caso, o vetor normal é o vetor tangente e o ponto é . Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar essa equação para verificar se a origem 2a , sen t cos t (-a , sen^2 t) + a (cos^2 t - sen^2 t)(-a , sen t cos t) - a sen t (-a cos t) = 0 satisfaz a equação do plano normal. Substituindo -2a^2 sen^3 t cos t - a^2 (cos^2 t - sen^2 t) sen t cos t + a^2 sen t cos t = 0 , -a^2 sen t cos t (2 sen^2 t + cos^2 t - sen^2 t - 1) = 0 , e 2 sen^2 t + cos^2 t - sen^2 t - 1 = sen^2 t + cos^2 t - 1 = 0 :
Simplificando cada termo:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Somando todos os termos:
Fatorando :
Simplificando dentro dos parênteses:
Pois .

Resposta

Como a equação se reduz a , concluímos que a origem está sempre no plano normal à curva para qualquer valor de . Portanto, todos os planos normais à curva passam pela origem das coordenadas.

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