Mostre que os planos normais da curva
passam todos pela origem de coordenadas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma curva definida por:
O problema nos solicita para mostrar que os planos normais dessa curva passam todas pela origem das coordenadas.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com o estudo de curvas no espaço tridimensional, mais especificamente com os planos normais a uma curva.
O que vamos precisar:
- Entender o que é um plano normal a uma curva.
- Calcular o vetor tangente à curva.
- Determinar a equação do plano normal.
- Verificar se a origem satisfaz essa equação.
Passo 2
Vamos começar definindo o vetor tangente à curva. O vetor tangente é dado pela derivada da posição em relação ao parâmetro
. Ou seja:
Vamos calcular essa derivada componente a componente.
Passo 3
Calculando a derivada:
- A derivada de em relação a
é . - A derivada de é usando a regra do produto.
- A derivada de
é .
Portanto:
Passo 4
Agora, sabemos que o plano normal à curva em um ponto é aquele que é perpendicular ao vetor tangente nesse ponto. A equação de um plano perpendicular a um vetor
e que passa por um ponto
é:
No nosso caso, o vetor normal é o vetor tangente
e o ponto é
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar essa equação para verificar se a origem
satisfaz a equação do plano normal. Substituindo
,
, e
:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
Somando todos os termos:
Fatorando :
Simplificando dentro dos parênteses:
Pois .
Resposta
Como a equação se reduz a
, concluímos que a origem
está sempre no plano normal à curva para qualquer valor de
. Portanto, todos os planos normais à curva passam pela origem das coordenadas.