Achar o volume máximo da caixa inscrita no tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede: “Achar o volume máximo da caixa retangular inscrita no tetraedro limitado pelos planos coordenados (
,
,
) e pelo plano
Isso é um problema de otimização com restrição (geometria de sólidos). Para resolver, vamos precisar
- entender bem a região — quais pontos estão dentro desse tetraedro,
- escrever o volume da caixa como função
, - analisar até onde
podem ir dado o plano de limite.
Passo 2
Como a caixa fica em cima dos planos coordenados, temos
Mas o plano limitante é
. Note que, para
, a soma
só pode ser
. A única maneira dessa soma ser exatamente zero é ter
Ou seja, a interseção dos quatro planos é só o ponto
— o tetraedro é degenerado.
Passo 3
A caixa inscrita teria vértice de comprimento
no eixo
,
no eixo
e
no eixo
, com volume
Mas como a única forma de respeitar
mantendo
é tomar
, qualquer “caixa” válida tem arestas nulas.
Resposta
O volume máximo da caixa é