Achar o volume máximo da caixa inscrita no tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x+3 y+3 z=0.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Achar o volume máximo da caixa retangular inscrita no tetraedro limitado pelos planos coordenados ( x=0, y=0, z=0) e pelo plano
x + 3y + 3z = 0,
Isso é um problema de otimização com restrição (geometria de sólidos). Para resolver, vamos precisar
  1. entender bem a região — quais pontos estão dentro desse tetraedro,
  2. escrever o volume da caixa como função V(x,y,z)=xyz,
  3. analisar até onde x,y,z podem ir dado o plano de limite.

Passo 2

Como a caixa fica em cima dos planos coordenados, temos
x>=0, y>=0, z>=0,
Mas o plano limitante é x+3y+3z=0. Note que, para x,y,z>=0, a soma x+3y+3z só pode ser >=0. A única maneira dessa soma ser exatamente zero é ter
x=0,;y=0,;z=0,
Ou seja, a interseção dos quatro planos é só o ponto (0,0,0) — o tetraedro é degenerado.

Passo 3

A caixa inscrita teria vértice de comprimento x no eixo x, y no eixo y e z no eixo z, com volume
V(x,y,z)=xyz,
Mas como a única forma de respeitar x+3y+3z=0 mantendo x,y,z>=0 é tomar x=y=z=0, qualquer “caixa” válida tem arestas nulas.

Resposta

O volume máximo da caixa é
boxed0,

Exercícios relacionados