Resolva as equações diferenciais:
y d x+(x-12 x^2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
y,dx + l(x - tfrac12 x^2 yr),dy = 0,
que é uma forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Aqui o conteúdo é testar exatidão e, em seguida, buscar um fator integrante do tipo mu(x,y)=x^m y^n.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = y, N(x,y) = x - tfrac12 x^2 y
Calculamos
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = 1 - x,y,
e vemos que partial M/partial y neq partial N/partial x, logo não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante da forma mu(x,y)=x^m y^n. Após multiplicar teríamos
M^* = mu,M = x^m y^n+1, N^* = mu,N = x^m+1y^n - tfrac12,x^m+2y^n+1
Para exatidão exigimos
partial M^*partial y = (n+1),x^m y^n, partial N^*partial x = (m+1),x^m y^n ;-;tfrac12 (m+2),x^m+1y^n+1,
e igualando os dois e fazendo o termo em x^m+1y^n+1 desaparecer, obtemos
m+2=0 Longrightarrow m=-2, n+1 = m+1 = -1 Longrightarrow n=-2

Passo 4

Logo escolhemos
mu(x,y) = x^-2y^-2
Multiplicando a equação original por mu obtemos a forma exata
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0
com
M^* = yx^2 y^2 = 1x^2 y, N^* = x - tfrac12 x^2 yx^2 y^2 = 1x y^2 - 12y

Passo 5

Agora construímos a função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M^* = 1x^2 y
Integrando em x:
Psi(x,y) = integral 1x^2 y,dx = -1x y + h(y)
Para determinar h(y), usamos
partial Psipartial y = partialpartial yl(-tfrac1x yr) + h'(y) = 1x y^2 + h'(y)
que deve ser igual a N^* = tfrac1x y^2 - tfrac12y. Assim
h'(y) = -12y Longrightarrow h(y) = -tfrac12lnlvert yrvert

Passo 6

Portanto a função potencial é
Psi(x,y) = -1x y ;-;12lnlvert yrvert
e a solução geral implícita vem de Psi(x,y)=C.

Resposta

-1x y ;-;12lnlvert yrvert = C Long<=ftrightarrow 1x y + 12lnlvert yrvert = C',
onde C e C' são constantes arbitrárias.

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