Achar o volume do sólido gerado pela rotação da região R limitada por y^2=4 x e x=4 em torno do eixo x=6 com o cálculo do volume incluso.
Volume =pi(y^580-y^3+32 y)|-4 ^4=7685 pi

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=6 a região R limitada pela parábola
y^2=4x
e pela reta vertical
x=4
O conteúdo aqui é cálculo de volume por método de discos (também chamado de método de anéis ou “washers”), integrando em função de y.

Passo 2

Para um dado valor de y, a região R vai de x=tfracy^24 (a parábola) até x=4. Quando rodamos em torno de x=6, obtemos um anel cuja borda exterior está mais afastada do eixo e cuja borda interior está mais próxima.

Passo 3

A borda exterior do anel vem do ponto x=tfracy^24, a uma distância
R(y)=6-y^24
A borda interior vem do ponto x=4, a uma distância fixa
r(y)=6-4=2

Passo 4

O elemento de volume é
dV=pil[R(y)^2-r(y)^2r],dy =pil[l(6-tfracy^24r)^2-2^2r],dy
Expandindo dentro do colchete:
l(6-tfracy^24r)^2-4 =36-3y^2+tfracy^416-4 =32-3y^2+tfracy^416
Assim
V=piintegraly=-4^4l(32-3y^2+tfracy^416r)dy

Passo 5

Calculamos a antiderivada:
integrall(32-3y^2+tfracy^416r)dy =;32y;-;y^3;+;y^580
Logo
V =pil[32y - y^3 + tfracy^580r]y=-4^4

Passo 6

Avalia em y=4 e y=-4:
l(32cdot4 - 4^3 + tfrac4^580r) - l(32(-4) - (-4)^3 + tfrac(-4)^580r) =7685
Multiplicando por pi
V=7685,pi

Resposta

V=7685,pi

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