Calcule a área entre as curvas y=x-1, y= pm(2 x+6)^12 com o cálculo da área incluso.
Área =|integral-2^4(y^2-62-y-1) d y|=|-18|=18 Á

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y=x-1
e
y=pmraiz2x+6
Aqui vamos usar o método de fatias horizontais, reescrevendo cada curva como x = g(y), encontrando os pontos de interseção em y, determinando qual curva fica à direita e qual à esquerda, e montando o integral
integraly1^y2l(xdireita-xesquerdar),dy

Passo 2

Isolamos x em cada equação:
Da reta y=x-1 temos
x=y+1
Da parábola y=pmraiz2x+6, elevando ao quadrado,
y^2 = 2x+6 Longrightarrow x = y^2-62

Passo 3

Igualamos as duas expressões de x para achar os y de interseção:
y+1 = y^2-62 ;Longrightarrow; 2y+2 = y^2-6 ;Longrightarrow; y^2 - 2y - 8 = 0 ;Longrightarrow; (y-4)(y+2)=0
Logo as interseções ocorrem em
y=-2 e y=4

Passo 4

Para y em [-2,4] a reta x=y+1 está à direita da parábola x=(y^2-6)/2. A largura horizontal é
De<a x = l(y+1r) - y^2-62 = 2y+2 - (y^2-6)2 = -y^2 + 2y + 82

Passo 5

Montamos o integral da área:
Área =integraly=-2^4De<a x,dy =integral-2^4-y^2+2y+82,dy =integral-2^4l(-tfracy^22+y+4r),dy Á

Passo 6

Calculemos a primitiva:
integrall(-tfracy^22+y+4r)dy =-y^36+y^22+4y
Avaliaremos de -2 a 4:
l[-tfracy^36+tfracy^22+4yr]-2^4 =l(-tfrac646+8+16r) -l(-tfrac-86+2-8r) =403-l(-tfrac143r) =543 =18

Resposta

18

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