Achar o volume do tetraedro de vêrtice (2,1,0) e cuja base é o triângulo de vêrtices (3,-3,1),(0,-1,1) e (1,0,3).

Passo 1

O enunciado pede para achar o volume de um tetraedro no espaço cujos vértices da base são (3,−3,1), (0,−1,1) e (1,0,3), e cujo ápice é (2,1,0). Vamos usar conteúdo de geometria analítica vetorial: o volume de um tetraedro pode ser expresso pelo módulo do produto misto entre três vetores formados a partir de um vértice, dividido por 6.

Passo 2

Para aplicar o produto misto, escolhemos o ápice A=(2,1,0) e os vértices da base B=(3,−3,1), C=(0,−1,1), D=(1,0,3). Definimos os vetores
u=AB=B-A=(1,-4,1),
v=AC=C-A=(-2,-2,1),
w=AD=D-A=(-1,-1,3)

Passo 3

Em seguida, calculamos o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são u, v e w:
det 1 & -4 & 1 -2 & -2 & 1 -1 & -1 & 3 = 1l((-2)cdot3 - 1cdot(-1)r) - (-4)l((-2)cdot3 - 1cdot(-1)r) + 1l((-2)cdot(-1) - (-2)cdot(-1)r)
Fazendo as contas internas, obtemos:
det = -5 - 20 + 0 = -25,
cujo valor absoluto é 25.

Passo 4

Por fim, o volume V do tetraedro é dado por
V = l|det(u,v,w)r|6 = 256

Resposta

\tfrac{25}{6}

Exercícios relacionados