Resolva o PVI

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo:
Vamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução da equação.

Passo 2

Identificando a equação diferencial:
A equação dada é:
dydx = 1 - 2y
Podemos reescrever essa equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
dydx + 2y = 1

Passo 3

Determinar o fator integrante:
O fator integrante ( mu(x)) é uma função que facilita a resolução da equação. Ele é calculado usando a seguinte fórmula:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Onde P(x) é o coeficiente de y na equação padrão. No nosso caso, P(x) = 2. Então:
mu(x) = e^integral 2 dx = e^2x

Passo 4

Multiplicar a equação pelo fator integrante:
Multiplicamos todos os termos da equação original pelo fator integrante e^2x:
e^2x cdot dydx + 2e^2xy = e^2x cdot 1
Isso simplifica a equação para:
ddx (e^2x y) = e^2x

Passo 5

Integrar ambos os lados:
Agora, integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx (e^2x y) dx = integral e^2x dx
A integração da derivada do lado esquerdo simplifica para:
e^2x y = e^2x2 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolar y:
Para encontrar y, dividimos todos os termos por e^2x:
y = 12 + Ce^-2x

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(0) = 52:
Substituímos x = 0 e y = 52 na equação para encontrar C:
52 = 12 + C cdot e^0
Simplificando:
52 = 12 + C
Subtraindo 12 de ambos os lados:
C = 2

Resposta

A solução do PVI é:
y(x) = 12 + 2, e^-2x

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