Resolva o PVI
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo:
Vamos resolver um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem. Para isso, vamos usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução da equação.
Passo 2
Identificando a equação diferencial:
A equação dada é:
Podemos reescrever essa equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Passo 3
Determinar o fator integrante:
O fator integrante (
) é uma função que facilita a resolução da equação. Ele é calculado usando a seguinte fórmula:
Onde
é o coeficiente de
na equação padrão. No nosso caso,
. Então:
Passo 4
Multiplicar a equação pelo fator integrante:
Multiplicamos todos os termos da equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Passo 5
Integrar ambos os lados:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
A integração da derivada do lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolar
:
Para encontrar
, dividimos todos os termos por
:
Passo 7
Aplicar a condição inicial
:
Substituímos
e
na equação para encontrar
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A solução do PVI é: