Justifique suas respostas.
Considere o seguinte problema: um fazendeiro tem 300 m de cerca e quer cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes iguais com cercas paralelas a um dos lados do retângulo. Qual é a maior área possível de cada parte? (Utilize as técnicas de otimização aprendidas em aula.)
Considere o seguinte problema: um fazendeiro tem 300 m de cerca e quer cercar uma área retangular e então dividi-la em quatro partes iguais com cercas paralelas a um dos lados do retângulo. Qual é a maior área possível de cada parte? (Utilize as técnicas de otimização aprendidas em aula.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! Temos um fazendeiro que quer cercar uma área retangular usando 300 metros de cerca. Além disso, ele quer dividir essa área em quatro partes iguais com cercas paralelas a um dos lados do retângulo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a maior área possível que cada uma dessas quatro partes pode ter. Para resolver isso, vamos usar técnicas de otimização, que servem para encontrar valores máximos ou mínimos para alguma grandeza, no caso, a área.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar. Vamos chamar o comprimento do retângulo de $ x $ e a largura de $ y $. Como o fazendeiro vai dividir a área em quatro partes iguais com cercas paralelas a um dos lados, vamos supor que as cercas internas serão paralelas ao lado $ y $. Isso significa que teremos três cercas internas cortando o comprimento $ x $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade total de cerca usada. O perímetro do retângulo é dado por $ 2x + 2y $. Além disso, as três cercas internas paralelas ao lado $ y $ adicionam mais $ 3y $ metros de cerca. Então, a quantidade total de cerca utilizada é:
Sabemos que esse total é igual a 300 metros, então temos a equação:
Passo 4
Nosso objetivo é maximizar a área de cada uma das quatro partes. A área total do retângulo é $ A = x \times y $. Como queremos a área de cada parte, vamos dividir essa área total por 4:
Mas para facilitar a otimização, vamos primeiro expressar $ A $ em termos de uma única variável. Da equação $ 2x + 5y = 300 $, podemos isolar $ x $:
Agora, substituímos $ x $ na expressão da área total:
Passo 5
Para encontrar o valor de $ y $ que maximiza a área, vamos derivar a função $ A(y) $ em relação a $ y $ e igualar a zero:
Resolvendo para $ y $:
Agora, substituímos $ y = 30 $ na equação para $ x $:
Resposta
A maior área possível de cada parte é $ A_{parte} = \frac{75 \times 30}{4} = \frac{2250}{4} = 562,5 $ metros quadrados.