Realizar um estudo completo das funções a seguir.
f(x)=-xx^2-1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na função que a gente vai estudar hoje: $ f(x) = -\frac{x}{x^{2} - 1} $. O assunto aqui é o estudo completo de uma função racional. Para resolver isso, a gente vai precisar descobrir o domínio, as assíntotas, os interceptos, onde a função está aumentando ou diminuindo, e também a concavidade dela. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de $ x $ a função está definida. Como estamos lidando com uma fração, o denominador não pode ser zero porque não dá para dividir por zero.
Então, vamos resolver:
x
x^2 - 1 neq 0
x^2 neq 1
Então, o domínio da função é todos os números reais menos $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos achar os pontos onde a função intercepta os eixos coordenados.
Intercepto com o eixo y:
Para encontrar o intercepto com o eixo y, colocamos $ x = 0 $:
x = 0
Então, o intercepto com o eixo y é o ponto $ (0, 0) $.
Interceptos com o eixo x:
Para encontrar os interceptos com o eixo x, colocamos $ f(x) = 0 $:
f(0) = -00^2 - 1 = -0-1 = 0
A fração só é zero quando o numerador é zero:
(0, 0)
f(x) = 0
Então, o único intercepto com o eixo x é também o ponto $ (0, 0) $.

Passo 4

Vamos agora procurar as assíntotas horizontais e verticais.
Assíntotas Verticais:
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador é zero, mas o numerador não é zero. Já encontramos que $ x = 1 $ e $ x = -1 $ fazem o denominador zero. Vamos verificar o numerador nesses pontos:
  • Para $ x = 1 $: $ -1 \neq 0 $
  • Para $ x = -1 $: $ -(-1) = 1 \neq 0 $
Então, temos duas assíntotas verticais:
x = 1
x = -1
Assíntota Horizontal:
Para encontrar a assíntota horizontal, observamos o comportamento da função quando $ x $ tende ao infinito.
A função é $ f(x) = -\frac{x}{x^{2} - 1} $. Podemos simplificar dividindo o numerador e o denominador por $ x^{2} $:
x = 1
Quando $ x $ tende ao infinito, $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{1}{x^{2}} $ tendem a zero, então:
-1 neq 0
Portanto, a assíntota horizontal é:
x = -1

Passo 5

Para descobrir onde a função está aumentando ou diminuindo, vamos calcular a derivada $ f’(x) $ e analisar o sinal dela.
A função é:
f'(x)
Usando a regra do quociente:
f(x) = -xx^2 - 1
f'(x) = -(1)(x^2 - 1) - x(2x)(x^2 - 1)^2
f'(x) = -x^2 - 1 - 2x^2(x^2 - 1)^2
f'(x) = --x^2 - 1(x^2 - 1)^2
Como $ x^{2} + 1 $ é sempre positivo e $ (x^{2} - 1)^{2} $ também é sempre positivo (exceto nos pontos onde o denominador é zero, que já estão excluídos do domínio), a derivada $ f’(x) $ é sempre positiva. Isso significa que a função está sempre aumentando em todo o seu domínio.

Passo 6

Vamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $ para determinar a concavidade.
A primeira derivada é:
f''(x)
Calculando a segunda derivada:
Usamos a regra do quociente novamente:
f'(x) = x^2 + 1(x^2 - 1)^2
Simplificando:
f''(x) = (2x)(x^2 - 1)^2 - (x^2 + 1)(2)(x^2 - 1)(2x)(x^2 - 1)^4
f''(x) = 2x(x^2 - 1)^2 - 4x(x^2 + 1)(x^2 - 1)(x^2 - 1)^4
f''(x) = 2x(x^2 - 1) - 4x(x^2 + 1)(x^2 - 1)^3
f''(x) = 2x(x^2 - 1 - 2(x^2 + 1))(x^2 - 1)^3
f''(x) = 2x(x^2 - 1 - 2x^2 - 2)(x^2 - 1)^3
f''(x) = 2x(-x^2 - 3)(x^2 - 1)^3
Agora, vamos analisar o sinal de $ f’’(x) $:
  • O numerador: f''(x) = -2x(x^2 + 3)(x^2 - 1)^3 . $ x^{2} + 3 $ é sempre positivo, então o sinal depende de $ -2x $.
    • Se $ x > 0 $, o numerador é negativo.
    • Se $ x < 0 $, o numerador é positivo.
  • O denominador: $ (x^{2} - 1)^{3} $ é positivo quando $ |x| > 1 $ e negativo quando $ |x| < 1 $.
Concavidade:
  • Quando $ f’’(x) > 0 $, a função é côncava para cima.
  • Quando $ f’’(x) < 0 $, a função é côncava para baixo.
Fazendo a análise:
  • Para $ x < -1 $: Numerador positivo e denominador positivo → $ f’’(x) > 0 $ → Côncava para cima.
  • Para $ -1 < x < 0 $: Numerador positivo e denominador negativo → $ f’’(x) < 0 $ → Côncava para baixo.
  • Para $ 0 < x < 1 $: Numerador negativo e denominador negativo → $ f’’(x) > 0 $ → Côncava para cima.
  • Para $ x > 1 $: Numerador negativo e denominador positivo → $ f’’(x) < 0 $ → Côncava para baixo.
Não há pontos de inflexão, já que não há mudança de concavidade que passaria pela função de forma contínua nesses intervalos.

Resposta

A função $ f(x) = -\frac{x}{x^{2} - 1} $ tem domínio $ \mathbb{R} \setminus {-1, 1} $, intercepto na origem $ (0,0) $, assíntotas verticais em $ x = -1 $ e $ x = 1 $, e assíntota horizontal em $ y = 0 $. Ela está sempre aumentando no seu domínio, sendo côncava para cima em $ x < -1 $ e $ 0 < x < 1 $, e côncava para baixo em $ -1 < x < 0 $ e $ x > 1 $.

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