Achar x inteiro que satisfaz simultaneamente as congruências:
\left\{\begin{array}{l}x \equiv 2(\bmod 5) \\\\ 3 x \equiv 1(\bmod 8)\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado pede um inteiro x que satisfaça simultaneamente
\begin{cases} x \equiv 2 \pmod{5},\\\\ 3x \equiv 1 \pmod{8}. \end{cases}
Isso é um problema de Teorema Chinês dos Restos para duas congruências.

Passo 2

Vamos primeiro resolver
3x \equiv 1 \pmod{8}.
Como 3 e 8 são coprimos, existe inverso de 3 módulo 8. Vemos que
3 \cdot 3 = 9 \equiv 1 \pmod{8},
logo o inverso de 3 é 3. Multiplicando ambos os lados por 3, obtemos
x \equiv 3 \cdot 1 \equiv 3 \pmod{8}.

Passo 3

Da congruência anterior temos a forma geral
x = 8k + 3,
para algum inteiro k. Esse x também deve satisfazer
x \equiv 2 \pmod{5}.
Substituindo x = 8k + 3 em módulo 5:
8k + 3 \equiv 2 \pmod{5} \quad\Longrightarrow\quad 8k \equiv -1 \equiv 4 \pmod{5}.
Como 8\equiv3\pmod5, isso vira
3k \equiv 4 \pmod{5}.
O inverso de 3 módulo 5 é 2, pois 3\cdot2=6\equiv1\pmod5. Então
k \equiv 2\cdot4 \equiv 8 \equiv 3 \pmod{5}.
Portanto k = 5t + 3 para algum inteiro t.

Passo 4

Voltando a x = 8k + 3 com k = 5t + 3:
x = 8(5t+3) + 3 = 40t + 24 + 3 = 40t + 27.
Logo a solução geral é
x \equiv 27 \pmod{40}.

Resposta

x \equiv 27 \pmod{40}.

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