Achar x inteiro que satisfaz simultaneamente as congruências:
\left\{\begin{array}{l}3 x \equiv 2(\bmod 5) \\\\ 2 x \equiv 1(\bmod 3)\end{array}\right.)

Passo 1

O enunciado pede um inteiro x que satisfaça o sistema de congruências lineares
3x \equiv 2 \pmod{5},
2x \equiv 1 \pmod{3}.
O conteúdo envolve resolução de congruências com coeficiente (invertendo números módulo m) e, em seguida, aplicação do Teorema Chinês dos Resto para combinar as soluções.

Passo 2

Resolvendo a primeira congruência
3x \equiv 2 \pmod{5},
precisamos do inverso de 3 no módulo 5. Como
3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5},
o inverso de 3 é 2. Multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
x \equiv 2 \cdot 2 = 4 \pmod{5}.

Passo 3

Resolvendo a segunda congruência
2x \equiv 1 \pmod{3},
o inverso de 2 no módulo 3 é também 2, pois
2 \cdot 2 = 4 \equiv 1 \pmod{3}.
Multiplicando ambos os lados por 2, vem
x \equiv 2 \cdot 1 = 2 \pmod{3}.

Passo 4

Agora queremos x que satisfaça simultaneamente
x \equiv 4 \pmod{5},
x \equiv 2 \pmod{3}.
Escreva x = 4 + 5k. Substituindo na segunda:
4 + 5k \equiv 2 \pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad 4 \equiv 1,\;5k\equiv 2k\pmod{3},
então
1 + 2k \equiv 2 \pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad 2k \equiv 1 \pmod{3} \quad\Longrightarrow\quad k \equiv 2 \pmod{3}.
Logo k = 2 + 3m e
x = 4 + 5(2+3m) = 14 + 15m,
com m\in\mathbb{Z}.

Resposta

A solução geral é
x \equiv 14 \pmod{15},
ou seja x = 14 + 15m, m\in\mathbb{Z}.

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