Prove que
tem-se
ou
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para todo inteiro
, o quadrado
é congruente a
ou a
módulo
. Vamos usar a ideia de separar em dois casos segundo a paridade de
(par ou ímpar) e a definição de congruência módulo
.
Passo 2
Suponha que
seja par. Então existe
tal que
Elevando ao quadrado, obtemos
Daí
divide
, ou seja,
Passo 3
Suponha que
seja ímpar. Então existe
tal que
Elevando ao quadrado,
Como
é inteiro, concluímos que
deixa resto
na divisão por
, ou seja,
Passo 4
Em todo inteiro
só há essas duas possibilidades: ou
é par e então
, ou
é ímpar e então
. logo a propriedade está demonstrada.
Resposta
Para todo
,