Prove que \forall m \in \mathbb{Z} tem-se m^{2} \equiv 0(\bmod 4) ou m^{2} \equiv 1(\bmod 4).

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro m, o quadrado m^2 é congruente a 0 ou a 1 módulo 4. Vamos usar a ideia de separar em dois casos segundo a paridade de m (par ou ímpar) e a definição de congruência módulo 4.

Passo 2

Suponha que m seja par. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que
m = 2k.
Elevando ao quadrado, obtemos
m^2 = (2k)^2 = 4k^2.
Daí 4 divide m^2, ou seja,
m^2 \equiv 0 \pmod{4}.

Passo 3

Suponha que m seja ímpar. Então existe k\in\mathbb{Z} tal que
m = 2k + 1.
Elevando ao quadrado,
m^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4\bigl(k^2 + k\bigr) + 1.
Como k^2+k é inteiro, concluímos que m^2 deixa resto 1 na divisão por 4, ou seja,
m^2 \equiv 1 \pmod{4}.

Passo 4

Em todo inteiro m só há essas duas possibilidades: ou m é par e então m^2\equiv0\pmod4, ou m é ímpar e então m^2\equiv1\pmod4. logo a propriedade está demonstrada.

Resposta

Para todo m\in\mathbb{Z},
m^2 \equiv 0 \pmod{4} \quad\text{ou}\quad m^2 \equiv 1 \pmod{4}.

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