O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis definidas por partes. Vamos checar três regiões: interior do disco x^{2}+y^{2}<1, exterior x^{2}+y^{2}>1 e a fronteira x^{2}+y^{2}=1.
Passo 2
Para (x,y) tal que x^{2}+y^{2}<1, temos
f(x,y)=\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}.
Como a função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é contínua e a raiz quadrada é contínua no seu domínio [0,\infty), a composição
Para (x,y) tal que x^{2}+y^{2}>1, temos f(x,y)=0, que é função constante. Função constante é contínua em qualquer ponto, logo f é contínua em toda a região externa ao disco.
Passo 4
Para (x_{0},y_{0}) na fronteira, isto é, x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1, temos