Verificar se a função é contínua
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} \sqrt{1-x^{2}-y^{2}}, & \text { quando } x^{2}+y^{2} \leqslant 1, \\\\ 0 & , \text { quando } x^{2}+y^{2}>1 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função
f(x,y)=\begin{cases} \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}},&\text{se }x^{2}+y^{2}\le1,\\\\ 0,&\text{se }x^{2}+y^{2}>1. \end{cases}
O conteúdo é continuidade de funções de duas variáveis definidas por partes. Vamos checar três regiões: interior do disco x^{2}+y^{2}<1, exterior x^{2}+y^{2}>1 e a fronteira x^{2}+y^{2}=1.

Passo 2

Para (x,y) tal que x^{2}+y^{2}<1, temos
f(x,y)=\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}.
Como a função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é contínua e a raiz quadrada é contínua no seu domínio [0,\infty), a composição
(x,y)\mapsto 1 - x^{2} - y^{2}\mapsto\sqrt{\,\cdot\,}
é contínua em todo ponto com x^{2}+y^{2}<1.

Passo 3

Para (x,y) tal que x^{2}+y^{2}>1, temos f(x,y)=0, que é função constante. Função constante é contínua em qualquer ponto, logo f é contínua em toda a região externa ao disco.

Passo 4

Para (x_{0},y_{0}) na fronteira, isto é, x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=1, temos
f(x_{0},y_{0})=\sqrt{1 - x_{0}^{2} - y_{0}^{2}}=\sqrt{0}=0.
Agora vamos calcular \lim_{(x,y)\to(x_{0},y_{0})}f(x,y).
  1. Se (x,y) aproxima-se pela parte interna x^{2}+y^{2}<1, então
f(x,y)=\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}\longrightarrow\sqrt{0}=0.
  1. Se (x,y) aproxima-se pela parte externa x^{2}+y^{2}>1, então
f(x,y)=0\longrightarrow0.
Em ambos os casos o limite vale 0, que coincide com f(x_{0},y_{0}). Portanto f é contínua em cada ponto da fronteira.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}^{2}.

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