Achar os limites das funções:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}} \frac{x}{x+y}

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento da função
f(x,y) = \frac{x}{x+y}
quando (x,y)\to(0,0). O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis: para existir limite, o valor deverá ser o mesmo independente do caminho de aproximação. Vamos verificar esse aspecto.

Passo 2

Suponha que nos aproximemos de (0,0) ao longo da reta y=0. Então, para y=0 (com x\to0 não nulo),
f(x,0) \;=\;\frac{x}{x+0} \;=\;1.
Logo,
\lim_{\substack{x\to0\y=0}} \frac{x}{x+y} = 1.

Passo 3

Agora aproxime por y=x. Substituindo y=x (com x\to0 não nulo),
f(x,x) \;=\;\frac{x}{x+x} \;=\;\frac{x}{2x} \;=\;\frac12.
Portanto,
\lim_{\substack{x\to0\y=x}} \frac{x}{x+y} = \tfrac12.

Passo 4

Como ao longo de duas retas diferentes obtivemos limites distintos 1 e \tfrac12, concluímos que o valor da expressão depende do caminho de aproximação. Logo, o limite duplo não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{x+y} não existe.

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