Ache as antiderivadas usando substituição e as regras básicas para antidiferenciação.
integral 2 x^2-1(6 x^3-9 x+1)^32 d x

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as antiderivadas usando substituição e regras de potência. Temos a integral:
integral 2x^2-1l(6x^3-9x+1r)^3/2,dx

Passo 2

Observando que a derivada de u = 6x^3-9x+1 tem relação com o numerador, escolhemos a substituição:
u = 6x^3-9x+1

Passo 3

Derivando ambos os lados, obtemos:
du = l(18x^2-9r),dx = 9l(2x^2-1r),dx
Logo,
(2x^2-1),dx = du9

Passo 4

Substituindo em dx e no integrando, a integral vira:
integral 2x^2-1u^3/2,dx = integral 1u^3/2cdotdu9 = 19integral u^-3/2,du

Passo 5

Aplicando a regra de potência para integrais integral u^ndu = u^n+1n+1 + C, com n=-tfrac32, temos:
integral u^-3/2,du = u^-1/2-tfrac12 = -2,u^-1/2

Passo 6

Multiplicando pelo fator 1/9 e revertendo a substituição, obtemos:
19l(-2,u^-1/2r) + C = -29,u^-1/2 + C = -29raizu + C = -29raiz6x^3-9x+1 + C

Resposta

-\frac{2}{9\sqrt{6x^{3}-9x+1}} + C

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