Calcule integral x^2 cdot raiz5 x-1 d x por dois métodos e compare suas respostas:
b. Use a substituição u=raiz5 x-1

Passo 1

A gente quer calcular a integral indefinida integral x^2raiz5x-1,dx usando a substituição u=raiz5x-1. O conteúdo aqui é mudança de variável em integrais, e vamos precisar escrever x e dx em termos de u.

Passo 2

Da definição u=raiz5x-1 temos u^2=5x-1, logo x=u^2+15. Derivando ambos os lados em relação a u dx=2u5,du.

Passo 3

Agora substituímos no integrando:
x^2raiz5x-1,dx =(u^2+15)^2!cdot ucdot 2u5,du =2125,u^2,(u^2+1)^2,du

Passo 4

Para integrar 2125integral u^2(u^2+1)^2du, primeiro expandimos (u^2+1)^2=u^4+2u^2+1:
2125integral(u^6+2u^4+u^2)du =2125(u^77+2u^55+u^33)+C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável original usando u=raiz5x-1. A antiderivada fica:
2(5x-1)^7/2875+4(5x-1)^5/2625+2(5x-1)^3/2375+C

Resposta

2(5x-1)^7/2875+4(5x-1)^5/2625+2(5x-1)^3/2375+C

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