Reparametrize as curvas abaixo pelo comprimento de arco e determine seu comprimento.
alpha(t)=(a cos omega t, a sen omega t, b omega t) ; t0 <= t <= t1;

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a curva helicoidal alpha(t)=(acos(omega t),,asin(omega t),,b,omega t) definida em t0<= t<= t1 e também calcular seu comprimento total. Vamos usar a definição de comprimento de arco e a reparametrização canônica por comprimento de arco (velocidade unitária).

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada de alpha para achar a velocidade vetorial. Derivando componente a componente obtenho:
alpha'(t)=(-a,omegasin(omega t),;a,omegacos(omega t),;b,omega)
Em seguida, o módulo dessa velocidade é
|alpha'(t)|=raiz(-a,omegasin(omega t))^2+(a,omegacos(omega t))^2+(b,omega)^2 =raiza^2omega^2(sin^2+cos^2)+b^2omega^2 =omegaraiza^2+b^2

Passo 3

Como o módulo |alpha'(t)| é constante, o parâmetro natural (comprimento de arco) s(t) é
s(t)=integralt0^t|alpha'(u)|,du=integralt0^tomegaraiza^2+b^2,du=omegaraiza^2+b^2,(t-t0)
Isso nos dá uma relação linear entre s e t.

Passo 4

Invertendo a função s(t) para obter t em função de s), temos
t(s)=t0+somegaraiza^2+b^2,
com s variando de 0 até o comprimento total L=s(t1). Agora podemos reescrever a curva em função de s:
beta(s)=alphal(t(s)r)=l(acosl(omega(t0+tfracsomegaraiza^2+b^2)r),;asinl(omega(t0+tfracsomegaraiza^2+b^2)r),;b,omegal(t0+tfracsomegaraiza^2+b^2r)r)
Isso garante |beta'(s)|=1, ou seja, s é de fato o comprimento de arco.

Passo 5

Por fim, o comprimento total da curva de t0 até t1 é
L=s(t1)=omegaraiza^2+b^2,(t1-t0)

Resposta

A reparametrização pelo comprimento de arco é
beta(s)=l(acosl(omega(t0+tfracsomegaraiza^2+b^2)r),;asinl(omega(t0+tfracsomegaraiza^2+b^2)r),;b,omegal(t0+tfracsomegaraiza^2+b^2r)r), 0<= s<= L,
e o comprimento total é
L=omegaraiza^2+b^2,(t1-t0)

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