Reparametrize as curvas abaixo pelo comprimento de arco e determine seu comprimento.
;
Passo 1
O enunciado pede para reparametrizar pelo comprimento de arco a curva helicoidal
definida em
e também calcular seu comprimento total. Vamos usar a definição de comprimento de arco e a reparametrização canônica por comprimento de arco (velocidade unitária).
Passo 2
Primeiro, calculamos a derivada de
para achar a velocidade vetorial. Derivando componente a componente obtenho:
Em seguida, o módulo dessa velocidade é
Passo 3
Como o módulo
é constante, o parâmetro natural (comprimento de arco)
é
Isso nos dá uma relação linear entre
e
.
Passo 4
Invertendo a função
para obter
em função de
, temos
com
variando de 0 até o comprimento total
. Agora podemos reescrever a curva em função de
:
Isso garante
, ou seja,
é de fato o comprimento de arco.
Passo 5
Por fim, o comprimento total da curva de
até
é
Resposta
A reparametrização pelo comprimento de arco é
e o comprimento total é