Ache as antiderivadas usando substituição e as regras básicas para antidiferenciação.
integral x^2 d x(4 cdot x^3+1)^7

Passo 1

Temos a integral integral x^2(4x^3+1)^7,dx. O conteúdo é substituição simples em integração e depois aplicar a regra de potência para antiderivação.

Passo 2

Definimos a substituição u = 4x^3 + 1. Como vamos trocar tudo para u, calculamos du: derivando, du = 12x^2,dx, logo x^2,dx = du12.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral x^2(4x^3+1)^7,dx = integral 1u^7 cdot du12 = 112integral u^-7,du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para antiderivação: integral u^n,du = u^n+1n+1 + C. Com n=-7 temos
integral u^-7,du = u^-6-6 + C

Passo 5

Multiplicando pelo fator 1/12, a antiderivada em u fica
112cdotu^-6-6 + C = -172u^-6 + C

Passo 6

Finalmente, voltamos a x usando u = 4x^3+1. A antiderivada é
-172(4x^3+1)^-6 + C

Resposta

-\frac{1}{72}(4x{3}+1){-6} + C

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