Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de
equações diferenciais.
l d^2 xd t^2+3 d yd t+3 y=0 d^2 xd t^2+3 y=t e^-t x(0)=0, x^prime(0)=2, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para usar a transformada de Laplace e resolver o sistema de equações diferenciais
x''(t)+3,y'(t)+3,y(t)=0, x''(t)+3,y(t)=t,e^-t,
com condições iniciais x(0)=0, x'(0)=2 e y(0)=0. Vamos precisar conhecer as propriedades lineares da transformada de Laplace e as fórmulas de transformada de derivadas.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada equação. Definindo X(s)= Lx(t) e Y(s)= Ly(t), e usando
Lx''=s^2X(s)-s x(0)-x'(0)=s^2X(s)-2, Ly'=sY(s)-y(0)=sY(s), Ly=Y(s),
temos
s^2X(s)-2+3[sY(s)]+3Y(s)=0, s^2X(s)-2+3Y(s)=1(s+1)^2
Reescrevendo,
s^2X(s)+(3s+3)Y(s)=2, s^2X(s)+3Y(s)=2+1(s+1)^2

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar s^2X(s), obtemos
(3s+3-3)Y(s)=2-[2+tfrac1(s+1)^2] Longrightarrow 3s,Y(s)=-tfrac1(s+1)^2
Logo
Y(s)=-13s(s+1)^2

Passo 4

Fazemos frações parciais em
1s(s+1)^2=As+Bs+1+C(s+1)^2
Resolvendo, achamos A=1, B=-1, C=-1. Então
Y(s)=-13l(1s-1s+1-1(s+1)^2r)
Invertendo cada termo,
y(t)=-13l[1-e^-t-t e^-tr] = rac(t+1)e^-t-13

Passo 5

Para X(s), voltamos à segunda equação algébrica:
s^2X(s)=2+1(s+1)^2-3Y(s) =2+1(s+1)^2+1s(s+1)^2 =2+1s(s+1)
Logo
X(s)=2s^2+1s^2,s(s+1) =2s^2+1s^3(s+1)
Fazendo frações parciais em 1/[s^3(s+1)] obtemos
1s^3(s+1)=1s-1s^2-1s^3-1s+1
Então
X(s)=1s+1s^2-1s^3-1s+1
Invertendo,
x(t)=1+t-t^22-e^-t

Resposta

x(t)=1+t-\tfrac{t2}{2}-e{-t},
y(t)=\tfrac{(t+1)e^{-t}-1}{3}

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