Considere uma caixa na forma de um paralelepípedo, cuja base (retangular) tem uma das dimensões igual ao dobro da outra, e de forma que a soma de sua altura com o perímetro da base seja de 600 cm . Determine a função que expressa o volume V de uma tal caixa, em termos da medida x da menor dimensão da base.

Passo 1

O enunciado fala de uma caixa em forma de paralelepípedo cuja base é retangular, com uma dimensão dupla da outra, e pede o volume em função de x, onde x é a menor dimensão da base. Vamos usar geometria de paralelepípedos e relações de perímetro.

Passo 2

Como a base é retangular e uma aresta mede o dobro da outra, as dimensões da base são x e 2x.
O perímetro da base é dado por P = 2(x + 2x) = 6x. Como a soma da altura h com o perímetro deve ser 600 cm, temos h + 6x = 600, ou seja h = 600 - 6x.

Passo 3

O volume de um paralelepípedo é área da base vezes altura. Aqui a base tem área x·2x = 2x², logo
[
V(x) = 2x^2 ,(600 - 6x) = 1200x^2 - 12x^3
]

Resposta

V(x) = 1200x^2 - 12x^3

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