Ache as antiderivadas usando substituição e as regras básicas para antidiferenciação.
integral x cdot raiz4 cdot x^2+15 d x, dica u=4 x^2+15

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer encontrar a antiderivada da função f(x)=xraiz4x^2+15 usando substituição, que é um método para integrar compostos de forma mais simples.

Passo 2

Definição da substituição: seja u=4x^2+15. Calculamos o diferencial:
du=8x,dx
Isolando x,dx temos x,dx=du8.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral xraiz4x^2+15,dx = integral raizucdotdu8 = 18integral u^1/2,du

Passo 4

Aplicação da regra básica de potência para antiderivação: para integral u^n,du = tfracu^n+1n+1+C. Aqui n=1/2, então
18integral u^1/2,du = 18cdotu^3/23/2+C = 18cdot23u^3/2+C = 112u^3/2+C

Passo 5

Substituindo de volta u=4x^2+15 para obter a antiderivada em função de x:
F(x)=(4x^2+15)^3/212+C

Resposta

(4x^2+15)^3/212+C

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