Reparametrize as curvas abaixo pelo comprimento de arco e determine seu comprimento.
alpha(t)=(t, 4 t^3 / 2, 9 t^2) ; 0 <= t <= 2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para refazer a parametrização da curva alpha(t) = (t, 4t^3/2, 9t^2) usando o comprimento de arco e também determinar o comprimento total dessa curva no intervalo de t de 0 a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização por comprimento de arco e como calcular o comprimento de uma curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é parametrização por comprimento de arco. Basicamente, em vez de usarmos um parâmetro t que pode ser qualquer coisa, queremos parametrizar a curva de forma que o parâmetro seja o próprio comprimento da curva desde o ponto inicial. Isso facilita várias análises em geometria e física.

Passo 3

Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento de arco da curva alpha(t) de 0 até algum t. A fórmula para o comprimento de arco s(t) de uma curva parametrizada por alpha(t) = (x(t), y(t), z(t)) é:
s(t) = integral0^t |alpha'(tau)| , dtau
Onde alpha'(tau) é a derivada da curva em relação a tau, e |alpha'(tau)| é a norma (ou magnitude) dessa derivada.

Passo 4

Vamos encontrar a derivada da curva alpha(t). Derivando cada componente em relação a t:
alpha'(t) = ( ddt t, ddt 4t^3/2, ddt 9t^2 ) = (1, 6t^1/2, 18t )

Passo 5

Agora, calculamos a norma de alpha'(t):
|alpha'(t)| = raiz1^2 + (6t^1/2)^2 + (18t)^2 = raiz1 + 36t + 324t^2

Passo 6

Simplificando dentro da raiz:
|alpha'(t)| = raiz324t^2 + 36t + 1

Passo 7

Para encontrar o comprimento total da curva de t = 0 a t = 2, precisamos integrar essa norma nesse intervalo:
L = integral0^2 raiz324t^2 + 36t + 1 , dt

Passo 8

Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, mas podemos notar que é uma integral de um polinômio quadrático dentro da raiz. Vamos tentar completar o quadrado para simplificar:
324t^2 + 36t + 1 = 324(t^2 + 36324t) + 1 = 324(t^2 + 19t) + 1
Agora, completamos o quadrado para a expressão dentro dos parênteses:
t^2 + 19t = (t + 118)^2 - (118)^2
Substituindo de volta:
324[(t + 118)^2 - 1324] + 1 = 324(t + 118)^2 - 1 + 1 = 324(t + 118)^2

Passo 9

Então, a norma fica:
|alpha'(t)| = raiz324(t + 118)^2 = 18|t + 118| = 18(t + 118)
Porque t + 118 é positivo no intervalo de 0 a 2.

Passo 10

Agora, a integral para o comprimento fica mais simples:
L = integral0^2 18(t + 118) dt = 18 integral0^2 t , dt + 18 integral0^2 118 , dt

Passo 11

Resolvendo as integrais:
18 [ t^22 |0^2 ] + 18 [ 118 t |0^2 ] = 18 ( 42 - 0 ) + 18 ( 218 - 0 ) = 18 times 2 + 18 times 19 = 36 + 2 = 38

Resposta

O comprimento total da curva alpha(t) = (t, 4t^3/2, 9t^2) de t = 0 a t = 2 é 38 unidades.

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