Reparametrize as curvas abaixo pelo comprimento de arco e determine seu comprimento. ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para refazer a parametrização da curva usando o comprimento de arco e também determinar o comprimento total dessa curva no intervalo de de 0 a 2. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre parametrização por comprimento de arco e como calcular o comprimento de uma curva no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é parametrização por comprimento de arco. Basicamente, em vez de usarmos um parâmetro que pode ser qualquer coisa, queremos parametrizar a curva de forma que o parâmetro seja o próprio comprimento da curva desde o ponto inicial. Isso facilita várias análises em geometria e física.
Passo 3
Para fazer isso, precisamos calcular o comprimento de arco da curva de 0 até algum . A fórmula para o comprimento de arco de uma curva parametrizada por é:
Onde é a derivada da curva em relação a , e é a norma (ou magnitude) dessa derivada.
Passo 4
Vamos encontrar a derivada da curva . Derivando cada componente em relação a :
Passo 5
Agora, calculamos a norma de :
Passo 6
Simplificando dentro da raiz:
Passo 7
Para encontrar o comprimento total da curva de a , precisamos integrar essa norma nesse intervalo:
Passo 8
Essa integral pode ser complicada de resolver analiticamente, mas podemos notar que é uma integral de um polinômio quadrático dentro da raiz. Vamos tentar completar o quadrado para simplificar:
Agora, completamos o quadrado para a expressão dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Passo 9
Então, a norma fica:
Porque t + 118 é positivo no intervalo de 0 a 2.
Passo 10
Agora, a integral para o comprimento fica mais simples:
L = integral0^2 18(t + 118) dt = 18 integral0^2 t , dt + 18 integral0^2 118 , dt