Ache as antiderivadas usando substituição e as regras básicas para antidiferenciação.
integral t^2 d traizt+4

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a antiderivada da função t^2/raizt+4 usando o método de substituição e as regras básicas de potenciação. O conteúdo envolvido é integração por substituição (mudança de variável) e aplicação da regra de potência para integrar cada termo.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = t + 4. Assim, du = dt e t = u - 4. A diferencial dt passa a ser du, e podemos reescrever t^2 como (u - 4)^2.

Passo 3

Substituindo em integral t^2raizt+4,dt obtemos
integral (u-4)^2raizu,du = integral u^2 - 8u + 16u^1/2,du = integral l(u^3/2 - 8u^1/2 + 16u^-1/2r),du

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência integral u^n,du = u^n+1n+1 + C em cada termo:
integral u^3/2,du = u^5/25/2 = 25u^5/2,
integral -8u^1/2,du = -8cdot u^3/23/2 = -163u^3/2,
$$\int 16u^{-1/2},du = 16\cdot \frac{u^{1/2}}{1/2} = 32u^{1/2}.
$$

Passo 5

Finalmente voltamos à variável t usando u = t + 4 e somamos a constante +C.

Resposta

25(t+4)^5/2 - 163(t+4)^3/2 + 32(t+4)^1/2 + C

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