Uma caixa aberta é feita a partir de um pedaço retangular de cartolina, removendo-se em cada canto um quadrado de lado x e dobrando-se as abas. Sabendo que os lados da cartolina medem 8 cm e 6 cm , expresse o volume da caixa como função de x

Passo 1

Estamos lidando com geometria de sólidos: a partir de uma cartolina retangular de 8 cm por 6 cm removem-se quadrados de lado x em cada canto e dobra-se para formar uma caixa aberta. O objetivo é escrever o volume dessa caixa como função de x.

Passo 2

Depois de retirar os quadrados, cada lado da base da caixa reduz de x em ambas as extremidades, passando a medir 8 - 2x e 6 - 2x. A altura da caixa é justamente o lado do quadrado removido, ou seja, x. Assim, o volume é dado por área da base vezes altura:
V(x) = x cdot (8 - 2x) cdot (6 - 2x)

Passo 3

Se quisermos, podemos expandir essa expressão:
V(x) = 4x^3 - 28x^2 + 48x

Passo 4

Para que a caixa exista fisicamente, precisamos de 8 - 2x > 0 e 6 - 2x > 0, o que implica 0 < x < 3.

Resposta

V(x) = x(8 - 2x)(6 - 2x)

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