Ache as antiderivadas usando substituição e as regras básicas para antidiferenciação.
integral x cdot raiz5-x d x,

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada integral xraiz5 - x,dx. O conteúdo principal é integração por substituição, usando também a regra de potência para integrar u^n.

Passo 2

Fazendo a substituição: defina u = 5 - x. Assim du = -,dx, ou seja dx = -,du, e como x = 5 - u podemos reescrever a integral em função de u.
Reescrevendo a integral:
integral xraiz5 - x,dx = integral (5 - u),u^1/2,(-du) = -integrall(5u^1/2 - u^3/2r)du

Passo 3

Distribuindo e separando as integrais:
-integrall(5u^1/2 - u^3/2r)du = -5integral u^1/2du + integral u^3/2du

Passo 4

Aplicando a regra de potência integral u^n du = u^n+1n+1:
-5integral u^1/2du = -5cdotu^3/23/2 = -103u^3/2,
e
integral u^3/2du = u^5/25/2 = 25u^5/2

Passo 5

Somando as duas partes e incluindo a constante C:
-103u^3/2 + 25u^5/2 + C

Passo 6

Voltando à variável original x com u = 5 - x:
-103(5 - x)^3/2 + 25(5 - x)^5/2 + C

Resposta

-tfrac103(5 - x)^3/2 + tfrac25(5 - x)^5/2 + C

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