Ache a área compreendida entre as curvas
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Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a área compreendida entre as curvas $ y = 3 \sqrt{x} $ e $ y = \frac{6}{x} - 3 $. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo de integrais para determinar a área entre duas curvas. Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde essas duas funções se intersectam, pois eles definirão os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das curvas. Para isso, igualamos as duas funções:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ x $ onde as duas curvas se cruzam.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por $ x $ para eliminar o denominador:
Lembrando que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $, então $ x \sqrt{x} = x^{3/2} $.
Passo 4
Substituindo, temos:
Vamos reorganizar a equação para igualar a zero:
Podemos dividir todos os termos por 3 para simplificar:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a equação $ x^{3/2} + x - 2 = 0 $. Vamos fazer uma substituição para facilitar: seja $ t = \sqrt{x} $, então $ x = t^2 $. Substituindo na equação:
Passo 6
Temos a equação cúbica $ t^3 + t^2 - 2 = 0 $. Vamos tentar encontrar uma solução real testando valores possíveis. Testando $ t = 1 $:
Então, $ t = 1 $ é uma raiz. Podemos fatorar o polinômio:
As outras raízes são complexas, então a única solução real é $ t = 1 $.
Passo 7
Lembrando que $ t = \sqrt{x} $, temos:
Portanto, as curvas se intersectam em $ x = 1 $. Agora, vamos verificar se há mais algum ponto de interseção.
Passo 8
Observando o comportamento das funções para $ x > 0 $:
- $ y = 3 \sqrt{x} $ aumenta conforme $ x $ aumenta.
- $ y = \frac{6}{x} - 3 $ tende a $ -3 $ quando $ x $ aumenta.
Portanto, as curvas se cruzam apenas uma vez em $ x = 1 $.
Passo 9
Com isso, vamos definir os limites de integração de $ x = 0 $ até $ x = 1 $. Agora, precisamos determinar qual das funções está acima da outra nesse intervalo.
Passo 10
Vamos avaliar as funções em um ponto dentro do intervalo, por exemplo, $ x = 0,25 $:
Aqui, $ y_2 > y_1 $. Entretanto, sabemos que para $ x > 1 $, $ y_1 $ domina. Mas como estamos integrando até $ x = 1 $, consideramos a diferença entre as funções nesse intervalo.
Passo 11
A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre as funções superiores e inferiores no intervalo considerado. Neste caso:
Passo 12
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 13
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 14
Vamos calcular os valores nos limites:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = 0 $:
Sabemos que $ x^{3/2} $ tende a 0 e $ 3x $ tende a 0, mas $ \ln(x) $ tende a $ -\infty $. Portanto:
Isso indica que a área “depois” de $ x = 0 $ não é finita. Porém, considerando o comportamento das funções e o ponto de interseção em $ x = 1 $, a área finita está entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Passo 15
Assim, a área compreendida entre as curvas é 5 unidades quadradas.
Resposta
A área compreendida entre as curvas $ y = 3 \sqrt{x} $ e $ y = \frac{6}{x} - 3 $ é igual a 5 unidades quadradas.