Considere a equação diferencial de ordem 2. Escreva a equação como um sistema de 2 equações de primeira ordem. Em seguida, determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma solução. (Não tente resolver o sistema de EDO(a) t y^prime prime+3 y=t

Passo 1

O enunciado pede para transformar a EDO de 2ª ordem t y’’ + 3y = t num sistema de 1ª ordem e, em seguida, usar o Teorema de Existência e Unicidade (Picard-Lindelöf) para determinar o maior intervalo onde o PVI tem solução. Vamos precisar definir variáveis de estado e analisar a continuidade do campo no plano (t,x).

Passo 2

Definimos as variáveis de estado x₁ = y e x₂ = y’. Assim temos y = x₁ e y’ = x₂.
Derivando x₁ e x₂ em relação a t, obtemos
x₁' = y' = x₂,
x₂' = y''
Como da equação original temos t y’’ = t - 3y, segue
y'' = t - 3yt = 1 - 3x₁t
Logo, o sistema equivalente é
x₁' = x₂, x₂' = 1 - 3 x₁t

Passo 3

Chamamos o campo f(t,x) = (x₂, 1 - 3 x₁/t). Para aplicar Picard‐Lindelöf precisamos que f e ∂f/∂x sejam contínuos num retângulo que contenha o ponto inicial (t₀,x₀). Note que f tem singularidade em t = 0 por causa de 1/t.
Portanto, o domínio natural de f é t ∈ (-∞,0) ∪ (0,∞). Assim, se o ponto inicial t₀ > 0, o maior intervalo de existência da solução é (0,∞); se t₀ < 0, o maior intervalo é (-∞,0).

Resposta

Sistema: x₁' = x₂,; x₂' = 1 - tfrac3x₁t. O maior intervalo de existência do PVI é (0,∞) se t₀ > 0, ou (-∞,0) se t₀ < 0.

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