Calcule a integral dupla da função f(x, y)=y^2raiz1-x^2, na região limitada pela elipse 4 x^2+y^2=4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla da função $ f(x, y) = \frac{y^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} $ na região limitada pela elipse $ 4x^{2} + y^{2} = 4 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas e mudanças de variáveis para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região de integração, que é a elipse $ 4x^{2} + y^{2} = 4 $. Podemos reescrever essa equação dividindo todos os termos por 4:
4x^2 + y^2 = 4
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 1 na direção x e 2 na direção y.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma essa elipse em um círculo unitário. Vamos definir:
x = u y = 2v
Substituindo na equação da elipse:
4u^2 + (2v)^2 = 4 4u^2 + 4v^2 = 4 u^2 + v^2 = 1
Agora, a região de integração é o círculo unitário $ u^{2} + v^{2} \leq 1 $, o que é mais simples de trabalhar.

Passo 4

Com a mudança de variável, precisamos calcular o determinante jacobiano para ajustar a área de integração. O jacobiano $ J $ é dado por:
J
Então, o elemento de área $ dx , dy $ se transforma em $ |J| , du , dv = 2 , du , dv $.

Passo 5

Agora, vamos reescrever a função $ f(x, y) $ em termos de $ u $ e $ v $:
f(x, y)
Portanto, a integral dupla original se transforma em:
u

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração agora é o círculo unitário. Nas coordenadas polares:
u = r cos theta v = r sin theta du , dv = r , dr , dtheta
Substituindo na integral:
8 integral0^2pi integral0^1 (r sin theta)^2raiz1 - (r cos theta)^2 cdot r , dr , dtheta = 8 integral0^2pi integral0^1 r^3 sin^2 thetaraiz1 - r^2 cos^2 theta , dr , dtheta

Passo 7

Essa integral parece complicada, mas podemos simplificar observando a simetria. Note que a função $ \sin^{2} \theta $ é simétrica e que, ao integrar de 0 a $ 2\pi $, conseguimos simplificar a expressão.
No entanto, uma abordagem mais direta é retornar às coordenadas cartesianas e integrar em relação a $ y $ primeiro.

Passo 8

Voltando às coordenadas $ x $ e $ y $, a integral original é:
x
Vamos primeiro integrar em relação a $ y $:
y

Passo 9

Substituindo de volta na integral em $ x $:
x
Agora, vamos calcular a integral de $ (1 - x^{2}) $ de -1 a 1:
integral-1^1 16(1 - x^2)^3/23 cdot 1raiz1 - x^2 , dx = 163 integral-1^1 (1 - x^2) , dx

Resposta

Multiplicando tudo, temos:
163 times 43 = 649
Portanto, o valor da integral dupla é $ \frac{64}{9} $.

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