Calcule a integral dupla da função
, na região limitada pela elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral dupla da função $ f(x, y) = \frac{y^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} $ na região limitada pela elipse $ 4x^{2} + y^{2} = 4 $. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, mais especificamente de integrais duplas e mudanças de variáveis para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região de integração, que é a elipse $ 4x^{2} + y^{2} = 4 $. Podemos reescrever essa equação dividindo todos os termos por 4:
Isso mostra que a elipse tem semi-eixos de comprimento 1 na direção x e 2 na direção y.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de variáveis que transforma essa elipse em um círculo unitário. Vamos definir:
Substituindo na equação da elipse:
Agora, a região de integração é o círculo unitário $ u^{2} + v^{2} \leq 1 $, o que é mais simples de trabalhar.
Passo 4
Com a mudança de variável, precisamos calcular o determinante jacobiano para ajustar a área de integração. O jacobiano $ J $ é dado por:
Então, o elemento de área $ dx , dy $ se transforma em $ |J| , du , dv = 2 , du , dv $.
Passo 5
Agora, vamos reescrever a função $ f(x, y) $ em termos de $ u $ e $ v $:
Portanto, a integral dupla original se transforma em:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar coordenadas polares, já que a região de integração agora é o círculo unitário. Nas coordenadas polares:
Substituindo na integral:
Passo 7
Essa integral parece complicada, mas podemos simplificar observando a simetria. Note que a função $ \sin^{2} \theta $ é simétrica e que, ao integrar de 0 a $ 2\pi $, conseguimos simplificar a expressão.
No entanto, uma abordagem mais direta é retornar às coordenadas cartesianas e integrar em relação a $ y $ primeiro.
Passo 8
Voltando às coordenadas $ x $ e $ y $, a integral original é:
Vamos primeiro integrar em relação a $ y $:
Passo 9
Substituindo de volta na integral em $ x $:
Agora, vamos calcular a integral de $ (1 - x^{2}) $ de -1 a 1:
Resposta
Multiplicando tudo, temos:
Portanto, o valor da integral dupla é $ \frac{64}{9} $.