Ache a área limitada pela elipse (x-2 y+3)^2+(3 x+4 y-1)^2=100.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área limitada pela elipse definida pela equação (x - 2y + 3)^2 + (3x + 4y - 1)^2 = 100. Vamos precisar entender um pouco sobre elipses e como transformar essa equação para encontrarmos a área. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse de uma forma mais simples. A equação dada é (x - 2y + 3)^2 + (3x + 4y - 1)^2 = 100. Isso parece uma combinação de termos lineares elevados ao quadrado. Para facilitar, vamos chamar:
u = x - 2y + 3
v = 3x + 4y - 1
Assim, a equação fica:
u^2 + v^2 = 100

Passo 3

Agora, essa nova equação u^2 + v^2 = 100 se parece com a equação de um círculo com raio R onde R^2 = 100, então R = 10. Mas lembre-se, u e v são combinações lineares de x e y, então estamos trabalhando em um sistema de coordenadas diferente. Isso significa que a elipse original é uma transformação desse círculo.

Passo 4

Para encontrar a área da elipse, precisamos entender como a transformação entre (x, y) e (u, v) afeta a área. A transformação pode ser representada por uma matriz:

$$
u v = 1 & -2 3 & 4 x y + 3 -1

D

+
$$
O determinante dessa matriz, que chamaremos de , nos dá o fator de escala da área devido à transformação.

Passo 5

Calculando o determinante D da matriz:
D = (1)(4) - (-2)(3) = 4 + 6 = 10
Esse determinante indica que a área é escalada por um fator de |D| = 10.

Passo 6

A área do círculo original no sistema (u, v) é:
Área do círculo = pi R^2 = pi (10)^2 = 100pi Áí
Mas precisamos voltar ao sistema original (x, y). Como a área foi escalada por |D| = 10, a área da elipse será:
Área da elipse = Área do círculo|D| = 100pi10 = 10pi ÁÁí

Resposta

A área limitada pela elipse é 10pi unidades de área.

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