Ache a área limitada pela elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a área limitada pela elipse definida pela equação
. Vamos precisar entender um pouco sobre elipses e como transformar essa equação para encontrarmos a área. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse de uma forma mais simples. A equação dada é
. Isso parece uma combinação de termos lineares elevados ao quadrado. Para facilitar, vamos chamar:
Assim, a equação fica:
Passo 3
Agora, essa nova equação
se parece com a equação de um círculo com raio
onde
, então
. Mas lembre-se,
e
são combinações lineares de
e
, então estamos trabalhando em um sistema de coordenadas diferente. Isso significa que a elipse original é uma transformação desse círculo.
Passo 4
Para encontrar a área da elipse, precisamos entender como a transformação entre
e
afeta a área. A transformação pode ser representada por uma matriz:
$$
+
$$
O determinante dessa matriz, que chamaremos de
, nos dá o fator de escala da área devido à transformação.
Passo 5
Calculando o determinante
da matriz:
Esse determinante indica que a área é escalada por um fator de
.
Passo 6
A área do círculo original no sistema
é:
Mas precisamos voltar ao sistema original
. Como a área foi escalada por
, a área da elipse será:
Resposta
A área limitada pela elipse é
unidades de área.