Calcule o volume da esfera centrada na origem x^2+y^2+z^2=R^2.
(0.25) Esboce a região;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da esfera x^2+y^2+z^2=R^2. O conteúdo é cálculo de volume por integrais triplas usando coordenadas esféricas. Vamos precisar do jacobiano das coordenadas esféricas e dos limites: 0<=rho<= R, 0<=phi<=pi, 0<=theta<=2pi.

Passo 2

Para parametrizar a esfera em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com elemento de volume
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Essa mudança facilita a integração porque a região vira um produto cartesiano em rho,phi,theta.

Passo 3

Montamos a integral tripla para o volume:
V=integraltheta=0^2piintegralphi=0^piintegralrho=0^Rrho^2sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Vamos calcular a integral em rho primeiro:
integral0^Rrho^2,drho=l[rho^33r]0^R=R^33
Substituindo na integral:
V=R^33integral0^2pidthetaintegral0^pisinphi,dphi

Passo 5

Agora integramos em phi e theta:
integral0^pisinphi,dphi=2, integral0^2pidtheta=2pi
Logo:
V=R^33cdot2cdot2pi=4pi R^33

Passo 6

Para esboçar a região, desenhe uma esfera de raio R centrada na origem. Em um plano de corte, ela aparece como um círculo de raio R, e girando esse círculo em torno de qualquer eixo através da origem obtemos a esfera completa.

Resposta

V=4pi R^33

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