Calcule o volume da esfera centrada na origem
.
(0.25) Esboce a região;
(0.25) Esboce a região;
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume da esfera
. O conteúdo é cálculo de volume por integrais triplas usando coordenadas esféricas. Vamos precisar do jacobiano das coordenadas esféricas e dos limites:
,
,
.
Passo 2
Para parametrizar a esfera em coordenadas esféricas definimos
com elemento de volume
Essa mudança facilita a integração porque a região vira um produto cartesiano em
.
Passo 3
Montamos a integral tripla para o volume:
Passo 4
Vamos calcular a integral em
primeiro:
Substituindo na integral:
Passo 5
Agora integramos em
e
:
Logo:
Passo 6
Para esboçar a região, desenhe uma esfera de raio
centrada na origem. Em um plano de corte, ela aparece como um círculo de raio
, e girando esse círculo em torno de qualquer eixo através da origem obtemos a esfera completa.