Calcule a integral tripla
integral triplaE x y d V
onde E é o sólido tetraedro com vértices (0,0,0),(2,0,0),(0,2,0) e (0,0,2).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral tripla integral triplaE x y , dV sobre o sólido E, que é um tetraedro com vértices em (0,0,0), (2,0,0), (0,2,0) e (0,0,2). Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função de três variáveis sobre uma região tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração para x, y e z que descrevem o tetraedro E.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. O tetraedro E está limitado pelos planos que passam pelos vértices dados. Observando os vértices, percebemos que:
  • x varia de 0 a 2.
  • Para um dado x, y varia de 0 a 2 - x (porque a soma de x e y não pode exceder 2).
  • Para dados x e y, z varia de 0 a 2 - x - y (devido à restrição imposta pelo quarto vértice).
Então, nossos limites de integração são:
0 <= x <= 2
0 <= y <= 2 - x
0 <= z <= 2 - x - y

Passo 3

Agora, montamos a integral tripla usando esses limites. A ordem de integração que vamos usar é z, depois y e por último x. Portanto, a integral fica assim:
integral0^2 integral0^2 - x integral0^2 - x - y x y , dz , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo.
Integração em relação a z:
integral0^2 - x - y x y , dz = x y integral0^2 - x - y dz = x y [z]0^2 - x - y = x y (2 - x - y)
Agora, a integral se torna:
integral0^2 integral0^2 - x x y (2 - x - y) , dy , dx
Distribuindo x y:
x y (2 - x - y) = 2 x y - x^2 y - x y^2
Então, a integral é:
integral0^2 integral0^2 - x (2 x y - x^2 y - x y^2) , dy , dx
Integração em relação a y:
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral0^2 - x 2 x y , dy = 2 x [ y^22 ]0^2 - x = 2 x ( (2 - x)^22 ) = x (2 - x)^2
  2. integral0^2 - x -x^2 y , dy = -x^2 [ y^22 ]0^2 - x = -x^2 ( (2 - x)^22 ) = -x^2 (2 - x)^22
  3. integral0^2 - x -x y^2 , dy = -x [ y^33 ]0^2 - x = -x ( (2 - x)^33 ) = -x (2 - x)^33
Somando tudo:
x (2 - x)^2 - x^2 (2 - x)^22 - x (2 - x)^33
Fatorando x (2 - x)^2:
x (2 - x)^2 (1 - x2 - 2 - x3) = x (2 - x)^2 (6 - 3x - 2(2 - x)6) = x (2 - x)^2 (6 - 3x - 4 + 2x6) = x (2 - x)^2 (2 - x6) = x (2 - x)^36
Então, agora temos:
integral0^2 x (2 - x)^36 , dx = 16 integral0^2 x (2 - x)^3 , dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja u = 2 - x, então du = -dx e quando x = 0, u = 2; quando x = 2, u = 0.
A integral fica:
16 integral2^0 (2 - u) u^3 (-du) = 16 integral0^2 (2 - u) u^3 , du
Expandindo (2 - u) u^3:
2 u^3 - u^4
Então, a integral é:
16 [ 2 integral0^2 u^3 , du - integral0^2 u^4 , du ]
Calculando as integrais:
  1. integral0^2 u^3 , du = [ u^44 ]0^2 = 164 - 0 = 4
  2. integral0^2 u^4 , du = [ u^55 ]0^2 = 325 - 0 = 325
Substituindo de volta:
16 ( 2 times 4 - 325 ) = 16 ( 8 - 325 ) = 16 ( 40 - 325 ) = 16 ( 85 ) = 830 = 415

Resposta

A integral tripla integral triplaE x y , dV vale 415.

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