Calcule a integral tripla
onde E é o sólido tetraedro com vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral tripla
sobre o sólido
, que é um tetraedro com vértices em
,
,
e
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma função de três variáveis sobre uma região tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar definir os limites de integração para
,
e
que descrevem o tetraedro
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. O tetraedro
está limitado pelos planos que passam pelos vértices dados. Observando os vértices, percebemos que:
-
varia de 0 a 2. - Para um dado
, varia de 0 a (porque a soma de e não pode exceder 2). - Para dados
e , varia de 0 a (devido à restrição imposta pelo quarto vértice).
Então, nossos limites de integração são:
Passo 3
Agora, montamos a integral tripla usando esses limites. A ordem de integração que vamos usar é
, depois
e por último
. Portanto, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo.
Integração em relação a
:
Agora, a integral se torna:
Distribuindo
:
Então, a integral é:
Integração em relação a
:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Somando tudo:
Fatorando
:
Então, agora temos:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
e quando
,
; quando
,
.
A integral fica:
Expandindo
:
Então, a integral é:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Resposta
A integral tripla
vale
.