Ache a área máxima de um triângulo cujo comprimento da base mais a altura é 2 cm .

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar a área máxima de um triângulo cuja base b mais a altura h somam 2 cm. O conteúdo aqui é otimização de uma função de uma variável, usando cálculo diferencial e o critério da segunda derivada para garantir máximo.

Passo 2

Denotamos por b o comprimento da base e por h a altura do triângulo. A condição do problema é
b + h = 2
A área A de um triângulo é dada por
A = 12,b,h

Passo 3

Usando a restrição h = 2 - b, escrevemos A em função de b:
A(b) = 12,b,(2 - b) = b - 12,b^2

Passo 4

Para encontrar o ponto crítico, calculamos a derivada de A(b):
A'(b) = 1 - b
Igualando a zero,
1 - b = 0 Longrightarrow b = 1
Então h = 2 - b = 1.

Passo 5

Verificamos a concavidade por meio da segunda derivada:
A''(b) = -1 < 0,
logo b=1 é ponto de máximo. A área máxima é
Amax = 12cdot 1cdot 1 = 12

Resposta

A área máxima vale tfrac12,cm^{2}.

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