Exercício 5. Seja
um domínio aberto limitado e com fronteira de classe
. A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para uma função
e um campo vetorial
, ambos de classe
, vale
Para uma função
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema da Divergência e a identidade de produto do Exercício 2, que para uma função
e um campo vetorial
vale
Vamos precisar de (i) Teorema da Divergência e (ii) da regra do produto para divergência:
.
Passo 2
Aplicamos a identidade do Exercício 2 ao vetor
. Como
é escalar e
vetorial, temos em cada ponto
Passo 3
Integramos a identidade acima sobre o domínio
:
Passo 4
Pelo Teorema da Divergência, a integral do lado esquerdo é o fluxo de
pela fronteira:
Passo 5
Basta isolar
. Da soma do Passo 3 e usando o resultado do Passo 4 obtemos