Exercício 5. Seja Omega subset R^d um domínio aberto limitado e com fronteira de classe C^1. A partir do Teorema da Divergência, mostre as seguintes identidades. Como dica, usar identidades do Exercício 2.
Para uma função u: Omega longrightarrow R e um campo vetorial F: Omega longrightarrow R^d, ambos de classe C^1(barOmega), vale
integralOmega u(x) div F(x) d x=-integralOmega nabla u(x) cdot F(x) d x+integralpartial Omega v(x) F(x) cdot nu(x) d sigma(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema da Divergência e a identidade de produto do Exercício 2, que para uma função uin C^1(barOmega) e um campo vetorial Fin C^1(barOmega; R^d) vale
integralOmegau(x),div,F(x),dx=-integralOmeganabla u(x)cdot F(x),dx+integralpartialOmegau(x),F(x)cdotnu(x),dsigma(x)
Vamos precisar de (i) Teorema da Divergência e (ii) da regra do produto para divergência: div(uF)=nabla ucdot F+u,divF.

Passo 2

Aplicamos a identidade do Exercício 2 ao vetor uF. Como u é escalar e F vetorial, temos em cada ponto xinOmega
divl(u(x),F(x)r) =nabla u(x)cdot F(x)+u(x),div,F(x)

Passo 3

Integramos a identidade acima sobre o domínio Omega:
integralOmegadiv(uF),dx =integralOmeganabla ucdot F,dx +integralOmegau,divF,dx

Passo 4

Pelo Teorema da Divergência, a integral do lado esquerdo é o fluxo de uF pela fronteira:
integralOmegadiv(uF),dx =integralpartialOmegau,Fcdotnu,dsigma

Passo 5

Basta isolar integralOmegau,divF. Da soma do Passo 3 e usando o resultado do Passo 4 obtemos
integralpartialOmegau,Fcdotnu =integralOmeganabla ucdot F +integralOmegau,divF Longrightarrow integralOmegau,divF =-integralOmeganabla ucdot F +integralpartialOmegau,Fcdotnu

Resposta

integralOmegau(x),divF(x),dx =-integralOmeganabla u(x)cdot F(x),dx +integralpartialOmegau(x),F(x)cdotnu(x),dsigma(x)

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