Seja f(x)=raiz1-2 x.
(a) Use a definição de derivada para determinar f^prime(0).
(b) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f em x=0.
(c) A reta x=1 / 2 é uma assíntota vertical do gráfico de f ? Justifique.
(a) (1,0)
f^prime(0)=lim x 0 f(x)-f(0)x-0=lim x 0 raiz1-2 x-1x=lim x 0 1-2 x-1x(raiz1-2 x+1)=lim x 0 -2raiz1-2 x+1=-1.
(b) (0,5)
y-1=-(x-0) Leftrightarrow y=-x+1
(c) (0,5)
Não, pois f é contínua em x=1 / 2 (contínua à esquerda, pois o domínio de f é (-infty, 1 / 2]).
(0,5)

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=raiz1-2x
com domínio xmid x<= 1/2. Pede-se:
(a) usar a definição de derivada para achar f'(0),
(b) escrever a reta tangente em x=0,
(c) verificar se x=1/2 é assíntota vertical de f.

Passo 2

Para calcular
f'(0)=limxto0f(x)-f(0)x-0
notamos que f(0)=raiz1=1. Então
f'(0)=limxto0raiz1-2x-1x
Racionalizamos multiplicando numerador e denominador por raiz1-2x+1:
raiz1-2x-1xcdotraiz1-2x+1raiz1-2x+1 =1-2x-1x(raiz1-2x+1) =-2xx(raiz1-2x+1)

Passo 3

Cancelando xneq0 no numerador e denominador,
-2xx(raiz1-2x+1) =-2raiz1-2x+1
Agora fazemos xto0 e obtemos
f'(0)=limxto0-2raiz1-2x+1 =-2raiz1+1 =-1

Passo 4

A reta tangente em x=0 passa por l(0,f(0)r)=(0,1) com coeficiente angular m=f'(0)=-1. Logo,
y-1=-1,(x-0) Longrightarrow y=-x+1

Passo 5

Para que haja assíntota vertical em x=1/2, precisaríamos de f(x)topminfty quando xto(1/2)^-. Mas
limxto(1/2)^-f(x) =limxto(1/2)^-raiz1-2x =0,
um valor finito. Além disso f é contínua à esquerda de 1/2. Portanto não há assíntota vertical em x=1/2.

Resposta

(a) f'(0)=-1.
(b) y=-x+1.
(c) Não, pois limxto(1/2)^-f(x)=0 é finito, logo não há assíntota vertical.

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