Determine :
lim x a arcsen(x^2-a^22 a x-2 a^2), a neq 0.

Passo 1

O enunciado pede
limxto aarcsen!l(x^2-a^22ax-2a^2r), aneq 0
O conteúdo principal aqui é cálculo de limite de função composta, usando fatoração para simplificar a expressão interna, e em seguida usar a continuidade da função arcsen em seu domínio [-1,1].

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador da fração interna:
x^2-a^2=(x-a)(x+a), 2ax-2a^2=2a(x-a)
Como xneq a quando estamos fazendo o limite, podemos simplificar x-a, obtendo
x^2-a^22ax-2a^2 =(x-a)(x+a)2a(x-a) =x+a2a

Passo 3

Agora analisamos o limite da parte interna simplificada:
limxto ax+a2a =a+a2a =2a2a =1

Passo 4

Resta usar a continuidade de arcsen em [-1,1]. Como para x suficientemente próximo de a (dentro do domínio real de arcsen) a fração tfracx+a2a fica sempre <=1 e tende a 1, temos
limxto aarcsen!l(tfracx+a2ar) =arcsen!l(limxto atfracx+a2ar) =arcsen(1)
E sabemos que
arcsen(1)=pi2

Resposta

boxedpi2

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