1. Ache a área da região delimitada pelas curvas y=sen(2 x) e y=sen x, desde o ponto em que elas se cortam pela primeira vez até o ponto em que elas se cortam pela segunda vez, isto a partir da origem e tomandose o sentido positivo do eixo das abscissas.

Passo 1

O problema pede a área da região entre as curvas y=sen(2x) e y=sen(x), desde o primeiro ponto onde elas se cruzam (na origem) até o segundo ponto de interseção no sentido positivo de x. Para resolver usamos:
– cálculo das soluções de sen(2x)=sen(x) para achar as interseções;
– determinação de qual função fica por cima no intervalo;
– integração definida da diferença entre as funções.

Passo 2

Resolvendo
sin(2x) = sin(x)
sabemos que sin A = sin B implica
1 2x = x + 2pi k; Rightarrow x = 2pi k,
2 2x = pi - x + 2pi k; Rightarrow x = tfracpi3 + tfrac2pi k3.
No intervalo x >= 0, a primeira interseção é x = 0 e a segunda mais próxima é x = pi/3.

Passo 3

Para ver qual curva é maior em (0,pi/3) testamos x=pi/6:
sen(2cdotpi/6)=sen(pi/3)=tfracraiz32 e sen(pi/6)=tfrac12.
Logo sen(2x)>sen(x) em todo o intervalo.

Passo 4

A área pedida é
A=integral0^pi/3l[sen(2x)-sen(x)r],dx
Usando antiderivadas:
integral sen(2x),dx = -tfrac12cos(2x),
integral sen(x),dx = -cos(x).
Assim,
A=l[-tfrac12cos(2x)+cos(x)r]0^pi/3 =l(tfrac14+tfrac12r)-l(-tfrac12+1r) =tfrac34-tfrac12 =tfrac14

Resposta

tfrac14

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