Encontre lim h 0 f(x+h)-f(x)h para as seguintes funções:
f(x)=sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limhto0f(x+h)-f(x)h
para a função f(x)=sin x. Esse limite é justamente a definição de derivada de f em x.

Passo 2

Formamos o quociente de diferença:
f(x+h)-f(x)h =sin(x+h)-sin xh
Usamos a identidade trigonométrica de soma:
sin(x+h)=sin xcos h+cos xsin h

Passo 3

Substituindo essa identidade no numerador, obtemos
sin(x+h)-sin xh =sin x(cos h-1)+cos xsin hh =sin xcdotcos h-1h +cos xcdotsin hh

Passo 4

Aplicamos os limites conhecidos
limhto0sin hh=1 e limhto0cos h-1h=0
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limhto0f(x+h)-f(x)h =sin xcdot0+cos xcdot1 =cos x

Resposta

cos x

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