Encontre as direções em que f(x, y) cresce e decresce mais rapidamente no ponto dado, bem como as respectivas derivadas direcionais máxima e mínima.
F(x, y, z)=x^2+3 y^2+4 z^2 ; p0=(1,-1,1)

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar, no ponto dado, as direções em que a função cresce e decresce mais rapidamente, bem como as respectivas derivadas direcionais máxima e mínima. O conteúdo necessário é o conceito de gradiente e a relação entre gradiente e derivada direcional: a derivada direcional máxima em um ponto é o módulo do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente; a mínima ocorre na direção oposta.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de
F(x,y,z)=x^2+3y^2+4z^2
Temos
nabla F(x,y,z) =l(partial Fpartial x,partial Fpartial y,partial Fpartial zr) =(2x,;6y,;8z)
No ponto p0=(1,-1,1),
nabla F(p0)=(2cdot1,;6cdot(-1),;8cdot1)=(2,,-6,;8)

Passo 3

Por teoria, a derivada direcional de F na direção de um vetor unitário u é
DuF(p0)=nabla F(p0)cdotu,
e atinge valor máximo igual a |nabla F(p0)| quando u aponta na direção de nabla F(p0), e mínimo igual a -|nabla F(p0)| quando u aponta na direção oposta.

Passo 4

Calculamos o módulo de nabla F(p0):
|nabla F(p0)|=raiz2^2+(-6)^2+8^2 =raiz4+36+64 =raiz104 =2raiz26
O vetor unitário na direção do gradiente é
umax =nabla F(p0)|nabla F(p0)| =l(tfrac22raiz26,,tfrac-62raiz26,,tfrac82raiz26r) =l(tfrac1raiz26,,-tfrac3raiz26,,tfrac4raiz26r)
A direção de mínimo crescimento é simplesmente -umax.

Resposta

Direção de máximo crescimento: umax=l(tfrac1raiz26,,-tfrac3raiz26,,tfrac4raiz26r) com derivada direcional máxima
DumaxF(p0)=|nabla F(p0)|=2raiz26
Direção de mínimo crescimento: -umax=l(-tfrac1raiz26,,tfrac3raiz26,,-tfrac4raiz26r) com derivada direcional mínima
D-umaxF(p0)=-2raiz26

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