Encontre as direções em que
cresce e decresce mais rapidamente no ponto dado, bem como as respectivas derivadas direcionais máxima e mínima.
Passo 1
O enunciado nos pede para encontrar, no ponto dado, as direções em que a função cresce e decresce mais rapidamente, bem como as respectivas derivadas direcionais máxima e mínima. O conteúdo necessário é o conceito de gradiente e a relação entre gradiente e derivada direcional: a derivada direcional máxima em um ponto é o módulo do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente; a mínima ocorre na direção oposta.
Passo 2
Primeiro calculamos o gradiente de
Temos
No ponto
,
Passo 3
Por teoria, a derivada direcional de
na direção de um vetor unitário
é
e atinge valor máximo igual a
quando
aponta na direção de
, e mínimo igual a
quando
aponta na direção oposta.
Passo 4
Calculamos o módulo de
:
O vetor unitário na direção do gradiente é
A direção de mínimo crescimento é simplesmente
.
Resposta
Direção de máximo crescimento:
com derivada direcional máxima
Direção de mínimo crescimento:
com derivada direcional mínima