Calcule as seguintes integrais indefinidas.
\int 2 x \cdot \ln \left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Dado: a integral indefinida \displaystyle \int 2 x \cdot \ln\!\left(x^{2}\right)\,dx.\n
  • Pedido: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja uma função F(x) tal que F'(x)=2x\ln\!\left(x^{2}\right).\n
    Observações imediatas extraídas do enunciado:\n
  • A função \ln\!\left(x^{2}\right) está definida para x\neq 0 (porque x^{2}>0 para todo x\neq 0).\n
  • A integral envolve um produto onde aparece 2x\,dx; isso sugere uma substituição simples.

Passo 2

Escolha de método (curta e direta):\n
  • Fazer a substituição \,u = x^{2}. Isso é natural porque du = 2x\,dx, e o fator 2x\,dx aparece exatamente na integral dada.\n
  • Essa substituição troca a integral original por uma integral em u mais simples.

Passo 3

Aplicando a substituição \,u = x^{2}:\n
  • Como u = x^{2}, temos \,du = 2x\,dx.\n
  • Assim a integral transforma-se em
\int 2x\ln\!\left(x^{2}\right)\,dx = \int \ln(u)\,du.
(Aqui foi usada a igualdade 2x\,dx = du e também que \ln(x^{2})=\ln(u).)

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \ln(u)\,du usando integração por partes (ou uma demonstração curta dela):\n
  • Regra de integração por partes (forma prática): se A e B são funções, então \displaystyle \int A\,dB = A B - \int B\,dA.\n
  • Aplicando com A=\ln(u) e dB=du: então dA=\dfrac{1}{u}\,du e B=u.\n
  • Portanto
\int \ln(u)\,du = u\ln(u) - \int u\cdot \frac{1}{u}\,du = u\ln(u) - \int 1\,du = u\ln(u) - u + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original x:\n
  • Lembrando que u=x^{2}, substitui-se na expressão encontrada:
u\ln(u)-u + C \longrightarrow x^{2}\ln\!\left(x^{2}\right) - x^{2} + C.
  • Observação alternativa (útil para provas): como \ln\!\left(x^{2}\right)=2\ln|x|, a primitiva pode também ser escrita como
2x^{2}\ln|x| - x^{2} + C.

Passo 6

Verificação rápida (derivando para checar):\n
  • Seja F(x)=x^{2}\ln\!\left(x^{2}\right)-x^{2}. Usando regra do produto e a derivada de \ln(x^{2}) (que é \dfrac{2}{x} para x\neq 0):
F'(x)=2x\ln\!\left(x^{2}\right) + x^{2}\cdot\frac{2}{x} - 2x = 2x\ln\!\left(x^{2}\right) + 2x - 2x = 2x\ln\!\left(x^{2}\right),
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

x^{2}\ln\!\left(x^{2}\right) - x^{2} + C

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