Calcule as seguintes integrais indefinidas.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- Dado: a integral indefinida
.\n - Pedido: encontrar uma primitiva (ou antiderivada) dessa função, ou seja uma função
tal que .\n
Observações imediatas extraídas do enunciado:\n - A função
está definida para (porque para todo ).\n - A integral envolve um produto onde aparece
; isso sugere uma substituição simples.
Passo 2
Escolha de método (curta e direta):\n
- Fazer a substituição
. Isso é natural porque , e o fator aparece exatamente na integral dada.\n - Essa substituição troca a integral original por uma integral em
mais simples.
Passo 3
Aplicando a substituição
:\n
- Como
, temos .\n - Assim a integral transforma-se em
(Aqui foi usada a igualdade
e também que
.)
Passo 4
Calcular
usando integração por partes (ou uma demonstração curta dela):\n
- Regra de integração por partes (forma prática): se
e são funções, então .\n - Aplicando com
e : então e .\n - Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original
:\n
- Lembrando que
, substitui-se na expressão encontrada:
- Observação alternativa (útil para provas): como
, a primitiva pode também ser escrita como
Passo 6
Verificação rápida (derivando para checar):\n
- Seja
. Usando regra do produto e a derivada de (que é para ):
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.