Sabendo-se que \int \frac{1}{1+x^{2}} d x=\operatorname{arctg}(x)+\lambda(\lambda \in \mathbb{R}), calcule:
\int \frac{3}{2+5 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado nos dá a primitiva conhecida
\int \frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\operatorname{arctg}(x)+\lambda,\quad(\lambda\in\mathbb{R}),
e pede para calcular
\int \frac{3}{2+5x^{2}}\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • O integrando é \dfrac{3}{2+5x^{2}}.
  • Podemos usar a primitiva de \dfrac{1}{1+u^{2}} como referência.
  • A resposta final deve ser uma antiderivada (ou seja, a função cuja derivada é o integrando), mais uma constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo técnico: tirar constantes fora da integral para simplificar. Escrevo
\int \frac{3}{2+5x^{2}}\,dx = 3\int \frac{1}{2+5x^{2}}\,dx.
Isto é só usar a linearidade da integral: constantes multiplicativas podem sair da integral.

Passo 3

Coloco o denominador na forma 1+ algo, para comparar com \dfrac{1}{1+u^{2}}. Faço fatoração por 2:
\frac{1}{2+5x^{2}}=\frac{1}{2\left(1+\dfrac{5}{2}x^{2}\right)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1+\left(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\,x\right)^{2}}.
Portanto
3\int \frac{1}{2+5x^{2}}\,dx = \frac{3}{2}\int \frac{1}{1+\left(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\,x\right)^{2}}\,dx.

Passo 4

Agora faço uma substituição para reduzir à forma \int \dfrac{1}{1+u^{2}}\,du. Defino
u=\sqrt{\tfrac{5}{2}}\,x.
Então
du=\sqrt{\tfrac{5}{2}}\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{\sqrt{\tfrac{5}{2}}}.
Substituindo dentro da integral:
\int \frac{1}{1+\left(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\,x\right)^{2}}\,dx = \int \frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{du}{\sqrt{\tfrac{5}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\tfrac{5}{2}}}\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.

Passo 5

Usando a primitiva conhecida \displaystyle\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du=\operatorname{arctg}(u)+C, obtemos
\int \frac{1}{1+\left(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\,x\right)^{2}}\,dx = \frac{1}{\sqrt{\tfrac{5}{2}}}\,\operatorname{arctg}\!\bigl(u\bigr)+C = \frac{1}{\sqrt{\tfrac{5}{2}}}\,\operatorname{arctg}\!\bigl(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\,x\bigr)+C.
Voltando ao fator que ficou no começo ( \tfrac{3}{2}), a antiderivada pedida é
\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{\tfrac{5}{2}}}\,\operatorname{arctg}\!\bigl(\sqrt{\tfrac{5}{2}}\,x\bigr)+C.

Passo 6

Simplifico o coeficiente numérico. Primeiro
\frac{1}{\sqrt{\tfrac{5}{2}}}=\sqrt{\tfrac{2}{5}}.
Então
\frac{3}{2}\cdot\sqrt{\tfrac{2}{5}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{10}}{5}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.
Também \sqrt{\tfrac{5}{2}}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}. Assim uma forma mais compacta da primitiva é
\frac{3\sqrt{10}}{10}\,\operatorname{arctg}\!\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\,x\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{3\sqrt{10}}{10}\,\operatorname{arctg}\!\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\,x\right)+C

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