Sabendo-se que
, calcule:
Passo 1
O enunciado nos dá a primitiva conhecida
e pede para calcular
Informações relevantes que temos:
- O integrando é
. - Podemos usar a primitiva de
como referência. - A resposta final deve ser uma antiderivada (ou seja, a função cuja derivada é o integrando), mais uma constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo técnico: tirar constantes fora da integral para simplificar. Escrevo
Isto é só usar a linearidade da integral: constantes multiplicativas podem sair da integral.
Passo 3
Coloco o denominador na forma
algo, para comparar com
. Faço fatoração por
:
Portanto
Passo 4
Agora faço uma substituição para reduzir à forma
. Defino
Então
Substituindo dentro da integral:
Passo 5
Usando a primitiva conhecida
, obtemos
Voltando ao fator que ficou no começo (
), a antiderivada pedida é
Passo 6
Simplifico o coeficiente numérico. Primeiro
Então
Também
. Assim uma forma mais compacta da primitiva é