Ache a área da região exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
r=2+2 cos theta
r=3

Passo 1

Resumo: Estamos lidando com uma curva em coordenadas polares dada por r=2+2costheta (um limacon) e um círculo r=3. Queremos a área da região que fica fora do limacon e dentro do círculo. Para isso, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares A=12integral (rexterno^2 - rinterno^2),dtheta.

Passo 2

Encontrar onde as duas curvas se cruzam. Resolva 2+2costheta=3
2+2costheta=3 implica 2costheta=1, ou seja costheta=tfrac12. Logo as interseções ocorrem em theta=pmpi/3 (mod 2pi).

Passo 3

Determinar em que intervalo o limacon fica dentro do círculo. Queremos 2+2costheta<3 costheta. Isso ocorre para thetain[pi/3,5pi/3] ao percorrer de 0 a 2pi.

Passo 4

Escrever a integral de área:
A=12integralpi/3^5pi/3l(3^2 - (2+2costheta)^2r),dtheta

Passo 5

Expandir e simplificar o quadrado:
(2+2costheta)^2 = 4(1+2costheta+cos^2theta) =6 + 8costheta + 2cos2theta
Assim o integrando fica 9 - (6+8costheta+2cos2theta) = 3 - 8costheta - 2cos2theta.

Passo 6

Calcular a primitiva:
integral(3 -8costheta -2cos2theta),dtheta = 3theta -8sintheta - sin2theta + C

Passo 7

Avaliar de theta=pi/3 até theta=5pi/3: subtraindo, obtemos
De
Então a área é
A=tfrac12,(4pi + 9raiz3) = 2pi + 9raiz32

Resposta

2pi + tfrac9raiz32

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