Ache a área da região exterior ao gráfico da primeira equação e interior ao gráfico da segunda equação.
Passo 1
Resumo: Estamos lidando com uma curva em coordenadas polares dada por
(um limacon) e um círculo
. Queremos a área da região que fica fora do limacon e dentro do círculo. Para isso, vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares
.
Passo 2
Encontrar onde as duas curvas se cruzam. Resolva
implica
, ou seja
. Logo as interseções ocorrem em
(mod
).
Passo 3
Determinar em que intervalo o limacon fica dentro do círculo. Queremos
⇔
. Isso ocorre para
ao percorrer de 0 a
.
Passo 4
Escrever a integral de área:
Passo 5
Expandir e simplificar o quadrado:
Assim o integrando fica
.
Passo 6
Calcular a primitiva:
Passo 7
Avaliar de
até
: subtraindo, obtemos
Então a área é