Calcule as primitivas abaixo
integral 19+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de 19 + x^2. Esse é um caso clássico de integral do tipo integral 1a^2 + x^2,dx, cuja fórmula é 1aarctanl(xar) + C.

Passo 2

Identificamos que a^2 = 9, logo a = 3. Podemos então escrever
19 + x^2 = 19cdot11 + (x/3)^2
Assim
integral 19 + x^2,dx = 19integral 11 + (x/3)^2,dx

Passo 3

Para usar a forma padrão, fazemos a substituição u = x/3. Então du = 13dx ou dx = 3,du. Substituindo na integral:
integral 19 + x^2,dx = 19integral 11 + u^2cdot 3,du = 39integral 11 + u^2,du = 13integral 11 + u^2,du

Passo 4

Sabendo que a derivada de arctan(u) é 11 + u^2, concluímos que
integral 11 + u^2,du = arctan(u) + C
Voltando à variável x com u = x/3, obtemos a primitiva desejada.

Resposta

13arctanl(tfracx3r) + C

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