Determine a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar.
r=6-6 sen theta

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região delimitada pelo gráfico da equação polar r=6-6sintheta. O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares e vamos usar a fórmula de área em coordenadas polares:
A = 12 integral0^2pi r^2,dtheta

Passo 2

Substituímos r na fórmula e escrevemos a integral:
A = 12 integral0^2pi (6 - 6sintheta)^2 ,dtheta

Passo 3

Expandimos o quadrado e colocamos em forma de integral mais simples. Como (6 - 6sintheta)^2 = 36(1 - 2sintheta + sin^2theta), então:
A = 18 integral0^2pi l(1 - 2sintheta + sin^2thetar),dtheta

Passo 4

Calculamos cada parte separadamente. Sabemos que:
integral0^2pi 1,dtheta = 2pi,
integral0^2pi sintheta,dtheta = 0,
integral0^2pi sin^2theta,dtheta = pi
Então substituímos na integral:
A = 18 l(2pi - 0 + pir)

Resposta

54\pi

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