Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem das funções abaixo utilizando a definição.
f(x, y)=raiz3 x-y.

Passo 1

Enunciado: calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de f(x,y)=raiz3x-y. Vamos usar a definição de derivada parcial (limite) e a regra da cadeia.

Passo 2

Para fx aplicamos a definição:
fx(x,y)=limhto0raiz3(x+h)-y-raiz3x-yh
Racionalizando e simplificando obtemos
fx(x,y)=32raiz3x-y
Analogamente, para fy usamos a definição e a cadeia, chegando a
fy(x,y)=-12raiz3x-y

Passo 3

Para as derivadas de segunda ordem, derivamos fx e fy em relação a x e y:
fxx(x,y)=partialpartial xfx(x,y)=partialpartial xl(32(3x-y)^-1/2r)=-94(3x-y)^3/2
fxy(x,y)=partialpartial yfx(x,y)=32,(-tfrac12)(3x-y)^-3/2(-1)=34(3x-y)^3/2
fyy(x,y)=partialpartial yfy(x,y)=partialpartial yl(-tfrac12(3x-y)^-1/2r)=-14(3x-y)^3/2

Resposta

fx(x,y)=32raiz3x-y,; fy(x,y)=-12raiz3x-y,; fxx(x,y)=-94(3x-y)^3/2,; fxy(x,y)=34(3x-y)^3/2,; fyy(x,y)=-14(3x-y)^3/2

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